Диофантово уравнение 2-й степени

[nikov]

$$a^2+31b^2=c^2$$

Имеет ли это диофантово уравнение решения в целых положительных числах? Есть ли какие-то общие подходы к решению диофантовых уравнений 2-й степени?

[bot]

Имеет.

$(c-a)(c+a)=31b^2$

Берём произвольно b, раскладываем $31b^2$ в произведение двух чисел $u < v$ одинаковой чётности и находим $a, c$ из системы
$c-a=u, c+a=v$

[maxal]

В общем виде существует такой результат:

Let $a, b, c$ be nonzero, squarefree, rational integers such that $(a,b) = (b,c) = (a,c) = 1$.
Then the Diophantine equation

$$a x^2 + b y^2 + c z^2 = 0$$

has nontrivial solutions if and only if the following conditions hold:
(i) $a$, $b$, $c$ do not all have the same sign;
(ii) $-ab$, $- bc$, and $-ca$ are quadratic residues modulo $c$, $a$, and $b$, respectively.

Практическое нахождение одного (какого-то) решения диофантова уравнения $a x^2 + b y^2 + c z^2 = 0$ может быть осуществлено в PARI/GP как описано тут. Понятно, что найдя одно решение, можно вывести параметрические формулы для всех решений.

Алгоритм нахождения всех решений таких уравнений также описан в статье:
Efficient solution of rational conics