исследование функции

[chezare]

Как показать, что невогнутая, гладкая, убывающая функция $f : (a,b) \rightarrow \mathbb{R} $ , имеющая вертикальную асимптоту в конечной точке $ b $, обязательно имеет точку перегиба?

[Руст]

То, что функция имеет вертикальную асимптоту, означает, что вблизи этой точки сама функция и её производные стремятся к бесконечности. Из того, что функция убывающая, следует что вторая производная при стремлении к этой точке слева стремится к - бесконечности. Из того, что функция не вогнутая следует, что не всюду вторая производная отрицательная. Соответственно вторая производная должна принимать промежуточное значение 0, где она меняет знак, что соответствует точке перегиба.

[chezare]

Руст писал(а):

То, что функция имеет вертикальную асимптоту, означает, что вблизи этой точки сама функция и её производные стремятся к бесконечности. Из того, что функция убывающая, следует что вторая производная при стремлении к этой точке слева стремится к - бесконечности. Из того, что функция не вогнутая следует, что не всюду вторая производная отрицательная. Соответственно вторая производная должна принимать промежуточное значение 0, где она меняет знак, что соответствует точке перегиба.

Откуда следует стремление к бесконечности первой и второй производных?

[Руст]

В традиционном смысле они не обязательно стремятся к бесконечности (например sin(1/x)/x ). Но в этом случае, ещё проще показать, что вторая производная меняет знак. Стремятся они к бесконечности, если в некоторой окрестности асимптотической прямой вторая производная знакопостоянная.