ТерВер. Проверьте правильность решения.

[jockerg]

Внутри эллипса с полуосями 100 и 10 бросается точка. Внутри эллипса расположены 4 окружности радиусом по 1.5. Эти окружности попарно не пересекаются. Найти вероятность того, что точка окажется внутри одной окружности.

Решаем по геометрическому определению вероятности. Окружности попарно не пересекаются, т.е. множество точек любых двух взятых окружностей не имеют пересечения. (все 4 окружности не пересекаются). получается $P= \frac {4*S_{okr}} {S_{elips}} = \frac {4*\pi*1,5^2} {\pi*100*10} = 0,009$

[gris]

Правильно.
Наверное, Вас смутило слово "одной" в условии. Оно там действительно звучит не по-русски. Написали бы - "в одной из", "в любой". или "в заранее выбранной". Если бы они пересекались, то "только одной". А так - только путает студентов

[jockerg]

gris спасибо за проверку.

вот ещё задачка, но в отличии от первой, хочу попросить помочь мне её решить.

Текст задачи: "Вероятность наступления некоторого события = 0,4 в каждом 1500 испытаний. Найти вероятность того, что число появлений этого события будет заключено между 570 и 630."


На мой взгляд похожа на "задачи с вероятностью попадания случайной величины в интервал", а как решать и что не пойму. подскажите пожалуйста.

[gris]

А это интегральная формула Муавра-Лапласа. Предельные теоремы.

[AD]

Ну можно и точно сосчитать.

$$\sum_{k=570}^{630}C_{1500}^k\cdot0{,}4^k\cdot0{,}6^{1500-k}$$

Вполне удобная формула. Ясно, что в этом числе будет не более 1500 знаков. В килобайт памяти уложится

[gris]

Из условия задачи не вполне ясно, вернее, совершенно неясно, входят ли числа 570 и 630 в рассматриваемый интервал или нет. Возможны четыре варианта. Какая уж тут точность.
Это шутка, разумеется. Даже EXCEL не возьмется посчитать такие ужасные биномиальные коэффициенты. Можно прологарифмировать, правда, каждое слагаемое. Там прекрасно получается.

Если серьёзно, то - Интегральная Теорема Муавра Лапласа. Надо будет только в табличке посмотреть и со знаками не запутаться.

[ИСН]

gris в сообщении #174826 писал(а):

Это шутка, разумеется. Даже EXCEL не возьмется

... вот это шутка (то есть Excel-то, конечно, не возьмётся. Юмор заключён в слове "даже"). Точный подсчёт занял меньше времени, чем сказать "Раз". В числителе 1049 знаков. В знаменателе тоже. Что может быть проще?

[gris]

туплю чего-то. Посчитать $C_{1500}^{570}$ просто? Нет, Вы всю сумму имеете ввиду. В общем для всех слагаемых знаменателе $10^{1500}$. Почему в числителе 1049 знаков?

[ИСН]

Потому, наверное, что 6/10 - это 3/5. В знаменателе $5^{1500}$. Железяка говорит, что это

285106096489670585936790172741528654512809650736638236933850035329940427037265
352817500109391523203515041925371898833379488779404985688869888427425072581966
465785771350438595073399781115005717268455353069708801152023390309333895869002
139922680351857706493197972691967258311186360352113673425025921616126814045588
968782055052597426739219986668483162965744561432851534074616930745296080604057
057031902470319167335454293015235652026286194427840437738757992997997720625962
792706856687503583505812397513926473779177279240739557526198119739243530721468
972220543962841907934354546194621669591385490770255481519611295577301132264970
533270259180246914503222046327958817611173172647150601524570604229114408095976
571341131646543439331255760834463895853085328641182048431158784363442840869524
434342981081828890693389715727830515046152834831706350291607786191071334568478
398662607158879171440047726756464444990108908780457938287819765594464126219931
671170097410973514993470866246663729051788200860469628186762945332247696020311
34496655795373953878879547119140625

[jockerg]

AD для суммы только программульку писать ) Тоже вариант

А для интегральной формулы Муавра-Лапласа, предложенной gris, посчитать получилось:

$P(k_1\leqslant \zeta \leqslant k_2)\approx \frac {1} {\sqrt{2*\pi}} * \int\limits_{x_1}^{x_2} e^ \frac {-x^2} {2} dx = \Phi(x_2)-\Phi(x_1)$ вот такая формула. верно?

где ${x_1}=\frac {k1-np} {\sqrt{npq}}$ , а ${x_2}=\frac {k2-np} {\sqrt{npq}}$ и $\Phi(x) = \frac {1} {\sqrt{2*\pi}} * \int\limits_{-\infty}^{x} e^ \frac {-t^2} {2} dt $

получается
$n=1500$
$p=0,4$
$q=1-0,4=0,6$
${k_1}=570$
${k_2}=630$
$np=600$
$\sqrt{npq}=18,97$
Вычисляем:
${x_1}=\frac {570-600} {18,97} = -1,58,$
${x_2}=\frac {630-600} {18,97} = 1,58,$
И находим по таблицам значения:
$\Phi(-1,58)=0,0571,$
$\Phi(1,58)=0,9332,$
$\Phi(1,58)-\Phi(-1,58)=0,9332-0,0571 = 0,8761$. Верно?

[gris]

AD имел ввиду знаки после запятой. После нуля с запятой.
Но тем не менее в числителе-то остаётся сумма то ли из 59, то ли 61 слагаемого. Есть ли смысл говорить о точности, если мы не установили точные границы интервала. Что значит между 570 и 630? Больше 570, но меньше 630? Строго так. Или нестрого? Не меньше 570, но не больше 630?
И всё-таки покажите мне 1049 знаков. Где они? Сколько среди них нулей?

Добавлено спустя 2 минуты 18 секунд:

Мы всё шутим, а ув. jockerg успешно считает. Кстати, формулу-то не я предложил. А Муавр. Или Лаплас.

Добавлено спустя 7 минут 36 секунд:

Насчёт $\Phi$ чего то сомневаюсь...
$\Phi(1.58) = 0,9429$

[jockerg]

Цитата:

gris Насчёт $\Phi$ чего то сомневаюсь...

ТочнО! Спасибо! на значение для x = 1,50 посмотрел - 1-ое для 5-го десятка Очень интерессно gris, отлично разбираетесь в теории вероятности, как долго вы практиковались?


С какой формулой её связать:
"Вероятность выхода из строя прибора, если он использовался $k$ раз, = $G(k)$. Найти вероятность выхода из строя прибора при последующих применениях, если при первых $m$ применениях он из строя не вышел." ?

Вот так понял:
1) Вероятность выхода из строя прибора = $G(k)$ при $k$ применениях.
2) Вероятность невыхода из строя прибора = $(1-G(k))$ при $k$ применениях.
3)$\underbrace{1 ... m} $ - исправно работал.
4)$\underbrace{m+1 ... k}$ - найти вероятность выхода прибора из строя

[gris]

На самом деле я выучил значения функции $\Phi$ только для положительных значений, да и то с шагом всего 0,001. А для отрицательных пользуюсь формулой $\Phi(-x) + \Phi(x) =1$. У Вас увидел несоответствие. Оно меня и озадачило.

А для новой задачи, я так понял, что $G(k)$ это функция распределения случайной величины, равной номеру испытания, на котором прибор выходит из строя.
Может быть $G(k+m)$? Где $k$ теперь нумерует новые испытания?

[Henrylee]

Мне видится вот такой ответ

$$ \frac{\lim\limits_{k\to\infty}G(k)-G(m)}{1-G(m)} $$

[jockerg]

Последнее условие задачи с ошибкой написал.
Нужно:
"Вероятность выхода из строя прибора, если он использовался $k$ раз, = $G(k)$. Найти вероятность выхода из строя прибора при последующих (вот, что не написал n ) $\mathbf{n}$ применениях, если (существенное слово в задаче) при первых $m$ применениях он из строя не вышел." ?

И задача на условную вероятность $P(B/A) = \frac {P(BA)} {P(A)}$, где
1)$A - \{$не вышел из строя за $m}$ применений$\}$
2)$B - \{$вышел за следующие $n}$ применений$\}$

$ АP(A) = (1- (G(m+1))$. (преподаватель сказал, что, например, при $k=2, G(k)=G(3)$, почему??? может потому, что учитываем значения 0,1,2 а их всего получается 3???)
$P(B) = G(n+1)$, подставляем значения и получаем

$P(B/A) = \frac {G(n+1)*(1-G(m+1))} {(1-G(m+1))}$
???