Неверно. Пусть

,
![$M=[0,1]$ $M=[0,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/5/f95c0553ae30f9c004be32d2ad0fb05282.png)
,

. Поскольку
![$H_0^1([0,1]) \subset C([0,1])$ $H_0^1([0,1]) \subset C([0,1])$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/b/9bbdf5875c2d5de7ee3d91bab92d1d2982.png)
, то решение, если существует, было бы непрерывно, скажем, в квадрате
![$[0,1]^2$ $[0,1]^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/d/e6d8e6aa80e37911f6bf1dcf9895436082.png)
. Однако, если рассматривать

как решение уравнения теплопроводности, то функция

полностью определяется своими значеними при

и должна быть аналитической на

. Т.е. в этом частном случае решение есть только для аналитических начальных данных.
Тут и единственность неочевидна. Может, понадобятся какие-то условиях на

. А решения тут, возможно, стоит рассматривать для множества начальных данных, всюду плотном в
![$H_0^1([0,1])$ $H_0^1([0,1])$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/4/8f44b00a57e99f417bf52c528b6f470b82.png)
.