Исследовать на сходимость ряд

[matan]

Помогите вычислить предел

$$\lim_{n\to\infty}{\{\frac{(-1)^n}{n^24^n}*(1+x^{2n^2})^{1/n}}}$$

[Профессор Снэйп]

Что-то я не понял. Фигурная скобка открывается, а потом нигде не закрывается. Это так и надо?

P. S. Для умножения используйте точку, а не звёздочку. Например, $2 \cdot 3 = 6$. Запись $2 * 3 = 6$ вызывает внутренний протест и убивает напрочь всякое желание помогать!

[ShMaxG]

А $x$ из какого множества?

[matan]

x\in\mathb{R}

[GAA]

При $|x| \le 1$ предел, очевидно, равен нулю. При $|x| > 1$ я бы попытался доказать, что исходный предел равен $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$. Дальше очевидно.

Добавлено спустя 13 минут 10 секунд:

К слову, в условии перед последней фигурной скобкой пропущен символ «\». Да и в скобки выражение, предел которого вычисляется, брать не надо, в данном случае.

[antbez]

Цитата:

Дальше очевидно.

А можно ли базироваться на том, что у нас есть $(-1)^n$? Ведь тогда если предел не равен 0 (как в рассмотренном выше случае), он- не определён...

[matan]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n}(1+4^{n^2})^{1/n}/n4^n$

[Хорхе]

Я бы попробовал то, что всегда хочется применить, когда видишь знакопеременный ряд -- признак Дирихле.

[matan]

И какую последовательность исследовать на монотонность и стремление к 0, а каую на ограниченность

[bot]

Как надо понимать как косые чёрточки?

Что ли так $\sum\limits_{n=1}^n (-1)^n \frac{\sqrt[n]{1+4^{n^2}}}{4^{n}n}$ ?

$... =\sum\limits_{n=1}^n (-1)^n \frac{\sqrt[n]{1+4^{-n^2}}}{n}$

[matan]

bot в сообщении #174723 писал(а):

Как надо понимать как косые чёрточки?

Первый вариант

[Хорхе]

matan писал(а):

bot в сообщении #174723 писал(а):

Как надо понимать как косые чёрточки?

Первый вариант

Так там одно и то же написано.

Оговорился -- конечно Лейбница, а не Дирихле (между прочим, можно и Дирихле, Лейбница -- простое следствие из Дирихле).

[matan]

Всё равно возникает вопрос о монотонности последовательности

\[ \frac{{\sqrt[n]{{1 + \mathop 4\nolimits^{\mathop n\nolimits^2 } }}}} {{n\mathop 4\nolimits^n }} \]

[bot]

matan писал(а):

Всё равно возникает вопрос о монотонности последовательности

\[ \frac{{\sqrt[n]{{1 + \mathop 4\nolimits^{\mathop n\nolimits^2 } }}}} {{n\mathop 4\nolimits^n }} \]

Дык уже написано: $\frac{ \sqrt[n]{ 1 + 4^{n^2} }} {4^n n}=\frac{\sqrt[n]{1 + 4^{-n^2}}}{n}$

[matan]

bot писал(а):

matan писал(а):

Всё равно возникает вопрос о монотонности последовательности

\[ \frac{{\sqrt[n]{{1 + \mathop 4\nolimits^{\mathop n\nolimits^2 } }}}} {{n\mathop 4\nolimits^n }} \]

Дык уже написано: $\frac{ \sqrt[n]{ 1 + 4^{n^2} }} {4^n n}=\frac{\sqrt[n]{1 + 4^{-n^2}}}{n}$

Извините,но никак не могу понять почему эта последовательность монотонна