Матрицы

[Еленочка]

id писал(а):

Необходимо или нет известно скорее Вам.
То, что $tr AB = tr BA$ или что то же самое $ tr (AB - BA) = 0$ - еще одна стандартная задача, Вас могут это спросить.

Спасибо. Завтра попробую доказать. Спокойной ночи

[Nataly-Mak]

Извините, если не в тему. Тут разговор идёт о матрицах. По-моему, это может иметь отношение к моим задачам. Конечно, я матрицы тоже “проходила” в университете, но это было очень давно (год окончания университета – 1972), и поэтому многое забыла напрочь.
Сейчас занимаюсь темами: магические квадраты и латинские квадраты.
Это ведь тоже матрицы. Ну, выполнить элементарные действия с матрицами я могу, например, умножить матрицу на какое-то число, увеличить все элементы матрицы на одно и то же число, сложить две матрицы одного порядка n. Хотя некоторые солидные авторы, говоря о магических и латинских квадратах, используют такие выражения, как “поклеточное суммирование” и другие в том же роде. Например, такая фраза из книги Ю.В. Чебракова (Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – С.-Петербург, 1995):
“2. Преобразовывают полученные два латинских квадрата путём умножения каждого числа одного квадрата на n и увеличения на 1 каждого числа другого квадрата. 3. Производят поклеточно суммирование двух преобразованных на втором этапе квадратов.”
Не проще ли вместо этой длинной фразы написать формулу, по которой получаются элементы готового магического квадрата из элементов двух латинских квадратов? Как мне кажется, это было бы “математичнее”.
Но сути дела это, понятно, не меняет.
Сейчас я бьюсь над задачей составления пары ортогональных классических латинских квадратов, пригодной для построения магического квадрата. Задача, на мой взгляд, очень непростая. Имею кучу статей по теме. Но сложность в том, что не могу эти статьи понять из-за незнания английского языка. Очень надеялась на машинный перевод, который мне организовали. Прислали перевод 3-х статей. Но что это за перевод! Понятно ещё меньше, чем на языке оригинала.
Есть одна книга и на русском (тоже переводная), автор Холл. Но в этой книге написано так заумно, что мне тоже не понять. А других статей (книг) на русском по данной теме у меня нет.
Вот я и подумала: может быть, знатоки теории матриц могут мне помочь?
Изложение сути проблемы вы найдёте в указанных темах форума, а также в статье “Новые аспекты метода латинских квадратов”, которую сейчас пишу.
Одна из задач опубликована в теме “Программирование”.
Может быть, кто-нибудь посоветует статьи в Интернете на русском языке по данной теме.
Благодарю за внимание!

[id]

Cave
Вы о том, что ни в одной унитальной банаховой алгебре нет таких $a,b$, что для некоторого ненулевого $\lambda \in \mathbb{C}$
$ab - ba = \lambda \textbf{1}$?
И правда, новогодняя такая версия.

[Nataly-Mak]

Как бы это поделикатнее напомнить о своей задаче?
Возможны два варианта: 1) моя задача тривиальная и вообще не достойна внимания знатоков теории матриц; 2) задача очень сложная и никто не знает, как её решать.
Напомню суть проблемы. Есть некий латинский квадрат, скажем, порядка 12. Требуется построить другой латинский квадрат ортогональный данному. Вот и вся задача!
Для примера приведу такой латинский квадрат 12-го порядка:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1
10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11 10
3 2 1 0 11 10 9 8 7 6 5 4
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
7 6 5 4 3 2 1 0 11 10 9 8
5 4 3 2 1 0 11 10 9 8 7 6
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5

Возможен другой вариант решения задачи: привести общие методы построения пар ортогональных латинских квадратов всех чётных порядков, не являющихся степенью числа 2, начиная с 12.
Один латинский квадрат построить не проблема, проблема - построить ортогональный ему латинский квадрат. Например, для приведённого латинского квадрата 12-го порядка, который получен из известного полумагического квадрата Агриппы, существует ортогональный латинский квадрат, но обобщённый. А меня интересуют только классические латинские квадраты.
Моя цель: найти общие методы составления пары ортогональных классических латинских квадратов, пригодной для построения магического квадрата. Смотрите: http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty1.htm

[ewert]

Еленочка в сообщении #173416 писал(а):

А необходимо доказывать, чтоTr(AB-BA) равно 0?

Доказательство равенства следов совершенно банально получается в лоб, ни о чём даже задумываться не надо:

$$(AB)_{ik}=\sum_la_{il}b_{lk} \qquad\Longrightarrow\qquad {\mathrm Tr}(AB)=\sum_i\sum_la_{il}b_{li},$$

$$(BA)_{ik}=\sum_lb_{il}a_{lk} \qquad\Longrightarrow\qquad {\mathrm Tr}(BA)=\sum_i\sum_lb_{il}a_{li},$$

и правые части очевидным образом совпадают (после перестановки сомножителей, порядка суммирования и переобозначения индексов суммирования).

[Nataly-Mak]

Даны две матрицы $A(a_{ij})$ и $B(b_{ij})$ порядка $n$, которые суть не диагональные классические латинские квадраты, то есть каждая строка и каждый столбец в обеих матрицах есть перестановка чисел $0, 1, 2, … n-1$. То, что латинские квадраты не диагональные, означает, что в диагоналях могут быть повторяющиеся числа. Латинские квадраты А и В ортогональны, это значит, что в матрице, составленной из элементов $(a_{ij},b_{ij})$ все элементы различны. Справедливо ли следующее утверждение: любая трансформация тождественной перестановки чисел как в матрице А, так и в матрице В сохраняет ортогональность?
Конкретный пример есть в статье
“Новые аспекты метода латинских квадратов (часть III)”.
В этом примере берётся пара не диагональных ортогональных латинских квадратов 22-го порядка. Каждый латинский квадрат преобразован своей трансформацией тождественной перестановки чисел $0, 1, 2, … 21$. Получившиеся в результате латинские квадраты остались ортогональными.
Если сформулированное утверждение верно, можно ли его строго доказать?
Может быть, это очевидно, а я не вижу

[alleut]

чтоб не создавать новых тем
Дано:
норма матрицы; удволетворяет условиям:
A_{[nxn]}, B_{[nxn]} 1. ||A|| = 0 \Leftrightarrow A=\mathbb{O} 2. ||\lambda A|| = |\lambda|||A||, \lambda \in \mathbb{C} 3. ||A+B|| \leq ||A||+||B|| 4. ||AB|| \leq ||A||||B||
и С-норма (кхм, так называемая), удволетворяющая всем свойствам, кроме 4.:
$||A||_c = n \underset{i,j}{\operatorname{max}}|a_{ij}|$

Почему С-норма не удволетворяет 4-му свойсту? (или все же удволетворяет?)
И будет ли $||A||_c = \underset{i,j}{\operatorname{max}}|a_{ij}|$ (С-норма без $n$) нормой?

[ewert]

alleut писал(а):

чтоб не создавать новых тем
Дано:
норма матрицы; удволетворяет условиям:
A_{[nxn]}, B_{[nxn]} 1. ||A|| = 0 \Leftrightarrow A=\mathbb{O} 2. ||\lambda A|| = |\lambda|||A||, \lambda \in \mathbb{C} 3. ||A+B|| \leq ||A||+||B|| 4. ||AB|| \leq ||A||||B||
и С-норма (кхм, так называемая), удволетворяющая всем свойствам, кроме 4.:
$||A||_c = n \underset{i,j}{\operatorname{max}}|a_{ij}|$

Почему С-норма не удволетворяет 4-му свойсту? (или все же удволетворяет?)
И будет ли $||A||_c = \underset{i,j}{\operatorname{max}}|a_{ij}|$ (С-норма без $n$) нормой?

Во-первых, насчёт терминологии. Норма матрицы вообще обязана удовлетворять лишь первым трём аксиомам. Если же она удовлетворяет ещё и четвёртой, то называется мультипликативной (ну, например, так считают Воеводин с Кузнецовым, да и наверное вообще все).

Во-вторых, заведомо мультипликативными являются все операторные нормы матрицы (хотя те же Воеводин с Кузнецовым этого термина почему-то не желают), т.е. такие, которые определяются как $\Vert A\Vert\equiv\mathop{\max}\limits_{\vec x\neq\vec 0}{\Vert A\vec x\Vert\over\Vert\vec x\Vert}$ (разные нормы вектора порождают разные нормы матрицы). Но -- не только операторные. Например, норма Гильберта-Шмидта $\Vert A\Vert\equiv\sqrt{\sum_{i,k}|a_{ik}|^2}$ -- мультипликативная, но не операторная.

В-третьих, для любой нормы матрицы (удовлетворяющей первым трём аксиомам) существует константа $\alpha>0$ такая, что $\Vert AB\Vert\leqslant\alpha\,\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert.$ Этот факт следует просто из эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве. Если теперь заменить исходную норму на $\Vert A\Vert_\alpha\equiv\alpha\,\Vert A\Vert,$ то новая норма будет уже мультипликативной.

В-четвёртых, Ваш конкретный пример. Если $\Vert A\Vert\equiv\mathop{\max}\limits_{i,k}|a_{ik}|,$ то достаточно очевидно $\Vert AB\Vert\leqslant n\,\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert,$ где $n$ -- размер матрицы. Причём это неравенство -- точное (оно превращается в равенство на матрицах, все элементы которых равны единице). Т.е. эта норма -- не мультипликативная.
Но именно по этой причине норма $\Vert A\Vert\equiv n\,\mathop{\max}\limits_{i,k}|a_{ik}|$ будет уже мультипликативной.

[alleut]

спасибо, вы как всегда даете более, чем полные ответы
Но не могли бы вы объяснить подробнее мне еще кое-что?
Почему в формулах
$\Vert A\Vert\equiv\mathop{\max}\limits_{i,k}|a_{ik}|,$, $\Vert AB\Vert\leqslant n\,\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert,$
константа именно $n$ (простите, мне это не совсем очевидно )?

[TOTAL]

alleut писал(а):

Почему в формулах
$\Vert A\Vert\equiv\mathop{\max}\limits_{i,k}|a_{ik}|,$, $\Vert AB\Vert\leqslant n\,\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert,$
константа именно $n$ (простите, мне это не совсем очевидно )?

Запишите здесь выражение для элемента матрицы $AB.$

[ewert]

... и оцените полученную сумму по модулю самым что ни на есть вульгарным способом.

[alleut]

$$c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$$

$$|c_{ij}|=|\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}|\le \sum\limits_{k=1}^n |a_{ik}b_{kj}|\le n\mathop{\max}\limits_{i,j}|a_{ij}|\mathop{\max}\limits_{i,j}|b_{ij}| \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \mathop{\max}\limits_{i,j}|c_{ij}| \le n\mathop{\max}\limits_{i,j}|a_{ij}|\mathop{\max}\limits_{i,j}|b_{ij}| $$

вот так брутально?

[ewert]

вот так

[alleut]

Большое спасибо за помощь
Т.о. получается, что наш преподаватель был неправ, когда говорил, что С-норма - не мультипликативная (это то же, что кольцевая?)...
И верны ли эти два утверждения (или как их проверить):
1. Евклидова норма мультипликативна (у меня получилось, что да)
2. столбцовая норма

$$\max_j \Sigma_i^n |a_{ij}|$$

мультипликативна

[ewert]

"Столбцовая" -- естественно, это -- операторная норма матрицы относительно $l_1$-нормы вектора. "Евклидова" -- это смотря что называть евклидовой нормой матрицы. "Тут и в прессе есть расхождения, и ваще идут толки разные..." Впрочем, при любом из стандартных пониманий она мультипликативна.