2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Полиэдральные множества, вершины и крайние точки
Сообщение06.01.2009, 13:47 
Здравствуйте!!! помогите пожалуйста с доказательством следующего утверждения: Множество вершин и множество крайних точек полиэдрального множества совпадают

Добавлено спустя 2 часа 22 минуты 21 секунду:

что ни у кого никаких идей? а кто нибудь может хотя бы дать конкретное определение крайних точек и вершин полиэдрального множества.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 14:18 
Аватара пользователя
Мне б тоже хотелось узнать, что такое вершины. Крайние точки -- это те точки $A$, которые не представимы в виде $\alpha x + (1-\alpha) y$, $x,y\in A$, $x\neq y$, $\alpha\in (0,1)$.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 15:54 
а это определение крайних точек справедливо и для не выпуклых множеств?
и может ли полиэдральное множество быть не выпуклым?

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 16:59 
Аватара пользователя
Полиэдральное множество всегда выпукло. Просто есть еще теория дискретных выпуклых множеств. Там другие немного определения. А для непрерывных множеств крайние точки будут и вершинами.
Если определению Хорхе придать некую наглядность, то через крайнюю точку нельзя провести даже крошечный отрезок(без концов) прямой, который принадлежит множеству.
А, например, для невыпуклого многоугольника это не работает. Через "впуклую" вершину можно провести отрезок, принадлежащий многоугольнику.

Добавлено спустя 16 минут 54 секунды:

Внезапно обнаружил, что если полиэдр определяется как объединение, а не пересечение, выпуклых многогранников, тогда он, конечно, может быть и невыпуклым.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 17:07 
Аватара пользователя
Techno88 писал(а):
а это определение крайних точек справедливо и для не выпуклых множеств?
и может ли полиэдральное множество быть не выпуклым?

Да, это для выпуклых. Для невыпуклых я не знаю определения. Честно говоря, я даже не знаю, что такое "полиэдральное множество". Но мне кажется, что оно выпукло по определению.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 17:54 
полиэдральным множеством Q в пространстве \[
E^n 
\] называют подмножество\[
Q \subseteq E^n 
\], полученное пересечение конечного числа замкнутых полупространств.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 19:45 
Аватара пользователя
Итак, полиэдральное множество в \[ E^n \] задается системой неравенств вида: \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\vec a_1  \cdot \vec x \le \vec b_1 }  \\
   .  \\
   .  \\
   .  \\
   {\vec a_m  \cdot \vec x \le \vec b_m }  \\
\end{array}} \right\]

Вершины определяются тем условием, что некоторые подсистемы уравнений из соответствующей системы: \[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\vec a_1  \cdot \vec x = \vec b_1 }  \\
   .  \\
   .  \\
   .  \\
   {\vec a_m  \cdot \vec x = \vec b_m }  \\
\end{array}} \right\] имеют единственное решение. Вот и попробуйте связать эти факты с определением крайних точек.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 23:33 
еще идеи есть?

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group