Группа Ли дифференциального уравнения

[Cat]

Здравствуйте, для дифференциального уравнения вида $F(x+y,(xy'+y)/(1+y'))=0$ нужно построить группу Ли. Я так понимаю, что нужно с этим ДУ сопоставить группу непрерывных преобразований в виде $x\to f(x,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$,которая будет группой автоморфизмов. Только не совсем понятно с чего нужно начинать при построении группы.

[Jnrty]

Jnrty:

Cat, Вы первый день на форуме и не знаете, как правильно писать формулы? Или модератор должен за Вас знаки доллара вставлять?

Л.В.Овсянников. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Москва, "Наука", 1978.

[Cat]

За ссылку спасибо.
В данном случае какой тип группы нужно использовать, с одним параметром?
У нас это задача дана в курсе исторических задач и собственно группам Ли там уделялось очень мало внимания, типизации не было.

Добавлено спустя 25 минут 9 секунд:

Если первый параметр за $t_{1}$ обозначить, а второй за $t_{2}$, то надо преобразование искать в виде

$$ \left\{ \begin{array}{l} t_{1}\to \alpha\cdot t_{1} \\ t_{2}\to \alpha\cdot t_{2} \end{array} \right. $$

?

Добавлено спустя 1 час 45 минут 14 секунд:

$\alpha$ получается должно такому соотношению удовлетворять:
$(\alpha^{2}xy'+\alpha y)/(1+\alpha y)=\alpha \cdot [(xy'+y)/(1+y')]?

Добавлено спустя 32 минуты 37 секунд:

Нет, не так всё, возьмем преобразования

$$ \left\{ \begin{array}{l} x_{1}\to \alpha\cdot x \\ y_{1}\to \alpha\cdot y \end{array} \right. $$

. Тогда уравнение исходно после преобразований примет вид:
$F(\alpha(x_{1}+y_{1}),\alpha \cdot [(xy'+y)/(1+y')])$. Будут ли эти преобразования составлять группу Ли для данного ДУ?

[Cat]

Напишите, пожалуйста, правильно ли составлена группа Ли и если нет, то в чем моя ошибка. Хочу с ними разобраться.

[Cat]

Нашла пример построения для однородного ДУ $F(x,y,y')=0$. Группу Ли в этом случае составят преобразования вида

$$ \left\{ \begin{array}{l} x\to \alpha\cdot x \\ y\to \alpha\cdot y \end{array} \right. $$

. Дальше написано, что преобразование

$$l= \left\{ \begin{array}{l} x\to y/x \\ y\to lny \end{array} \right. $$

переводит данную группу в группу сдвигов по оси $y$. Вот этот момент не совсем понятен. Ведь если сначала первое преобразование применить, а потом второе, то получится $x\to \alpha x\to \alpha x/\alpha y=y/x$, а не $x\to x$. Или я неправильно понимаю этот момент. Подскажите, пожалуйста.

[ИСН]

Вы смешиваете два понятия на том основании, что оба называются одинаковым словом "преобразование". Но это случайно так получилось, а вещи-то разные. Есть групповые операции. А есть переход к другим переменным.

[Cat]

ИСН, спасибо. А как преобразование к группе применять?

[Brukvalub]

Если обозначить

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x' = \frac{x}{y}} \\ {y' = \ln y} \\ \end{array}} \right. \]

, то в новых координатах

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x' \to \frac{{\alpha \cdot x}}{{\alpha \cdot y}} = x'} \\ {y' \to \ln \alpha \cdot y = \ln \alpha + \ln y = \ln \alpha + y'} \\ \end{array}} \right. \]

[Cat]

Точно

Добавлено спустя 10 минут 54 секунды:

А для исходного ДУ $F((x+y,(xy'+y)/(1+y'))$ группой Ли тоже будет являться:

$$ \left\{ \begin{array}{l} x\to \alpha\cdot x \\ y\to \alpha\cdot y \end{array} \right. $$

?

Добавлено спустя 29 минут 7 секунд:

А вот если было ЛДУ неоднородное, то оно будет допускать только группу, состоящую из тождественного преобразования

$$ \left\{ \begin{array}{l} x\to x \\ y\to y \end{array} \right. $$

. Или я не совсем правильно понимаю?

[ИСН]

В группу Ли могут входить не только масштабные преобразования, но и какие-нибудь другие, более хитрые.

[Cat]

А существует какой-нибудь алгоритм построения группы Ли?

Добавлено спустя 37 минут 59 секунд:

Чтобы ее найти нужно знать, что-либо о функции F?

[Someone]

В книге Овсянникова, которую рекомендовал Jnrty, алгоритм есть. С примерами. Но задача, как я понимаю, довольно громоздкая.

[Cat]

меня и смущает громоздкость. Может быть можно как-то избежать её в данном случае.

[Cat]

Оказалось всё очень просто
Т.к. $F(x+y,(xy'+y)/(1+y'))=F(x+y,(xy)'/(x+y)')$,а должно выполняться

$$ \left\{ \begin{array}{l} x+y\to x+y \\ (xy)'\to (xy)' \end{array} \right. $$

, то группа Ли будем иметь следующий вид:

$$ \left\{ \begin{array}{l} x+y\to x+y \\ xy \to xy+\alpha \end{array} \right $$

Благодарю всех за помощь