Задачи по случайным процессам

[bubu gaga]

Пусть $X$ и $Y$ - две независимые случайные величины с плотностями распределения $p_X(x)$ и $p_Y(y)$. Пусть $\{ \xi(t), t \ge 0 \}$ -- случайный процесс, определённый соотношением $\xi(t) = Xt + Y$. Найти двухмерную плотность распределения процесса $\xi(t)$

Начал так

$$ \mathbf{P} \Bigl\{ \xi(t_1) \le x_1, \; \xi(t_2) \le x_2 \Bigr\} = \mathbf{P} \left\{ X \le \frac{x_1 - Y}{t_1}, \; X \le \frac{x_2 - Y}{t_2} \right\} = \mathbf{P} \left\{ X \le \min \left( \frac{x_1 - Y}{t_1}, \; \frac{x_2 - Y}{t_2} \right) \right\}$$

Но получается слишком громоздко. Может как-то проще можно решить? Спасибо!

[--mS--]

Если квадратная матрица $A$ невырождена, то плотность распределения вектора $\vec{\eta}=A\cdot \vec{\xi}$ через плотность распределения вектора $\vec{\xi}$ выражается как

$$ p_{\vec{\eta}}(\vec{x}\,)=\dfrac{1}{|\textrm{det}(A)|}\cdot p_{\vec{\xi}\,}(A^{-1}\vec{x}\,) $$

.

[bubu gaga]

Спасибо! С ответом только почему-то не сходится.

$$ \left[ \begin{matrix} \xi(t_1) \\ \xi(t_2) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} t_1 & 1 \\ t_2 & 1 \end{matrix} \right] \; \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] $$

Нахожу обратную матрицу

$$ A^{-1} \, \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right] = \frac{1}{t_1 - t_2} \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ -t_2 & t_1 \end{matrix} \right] \; \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right] = \frac{1}{t_1 - t_2} \left[ \begin{matrix} x_1 - x_2 \\ x_2 \, t_1 - x_1 \, t_2 \end{matrix} \right] $$

Подставляю и перемножаю плотности используя независимость $X$ и $Y$

$$ p_\xi(x_1, x_2; t_1, t_2) = \frac{1}{t_2 - t_1} \; p_{X} \left( \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \right) \; p_{Y} \left( \frac{x_1 \, t_2 - x_2 \, t_1 }{t_2 - t_1} \right) $$

Можно ссылку на эту замечательную теорему, чтобы разобраться про что там речь?

[--mS--]

bubu gaga писал(а):

Спасибо! С ответом только почему-то не сходится.
...
Можно ссылку на эту замечательную теорему, чтобы разобраться про что там речь?

Значит, в ответе ошибка. А можно его привести?

Да это, в общем, просто замена переменной в многомерном интеграле: для произвольного борелевского множества $B$

$$\mathsf P\bigl(\vec{\eta}\in B\bigr) = \mathsf P\bigl(A\vec{\xi}\in B\bigr)= \mathsf P\bigl(\vec{\xi}\in A^{-1}B\bigr)= \iint\limits_{A^{-1}B} p_{\vec{\xi}\,}(\vec{x})\,d\vec{x}, $$

где $A^{-1}B=\{\vec{x}=A^{-1}\vec{y}~\biggm|~\vec{y}\in B\}$. Замена $\vec{y}=A\vec{x}$. Область $A^{-1}B$ переходит в $B$, под интералом появится якобиан $d\vec{x}=|\textrm{det}(A^{-1})|\,d\vec{y}$:

$$ \mathsf P(\vec{\eta}\in B) = \iint\limits_B {\lvert \textrm{det}\,A \rvert}^{-1}\cdot p_{\vec{\xi}\,}\bigl(A^{-1}\vec{y}\,\bigr)\,d\vec{y}$$

.

[bubu gaga]

--mS-- писал(а):

А можно его привести?

$$ p_\xi(x_1, x_2; t_1, t_2) = \frac{1}{t_2 - t_1} \; p_X\left(x_1 - \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \right) \; p_Y\left( \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \right) $$

Миллер, Панков. Теория случайных процессов в примерах и задачах с. 28

[--mS--]

bubu gaga писал(а):

$$ p_\xi(x_1, x_2; t_1, t_2) = \frac{1}{t_2 - t_1} \; p_X\left(x_1 - \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \right) \; p_Y\left( \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \right) $$

Миллер, Панков. Теория случайных процессов в примерах и задачах с. 28

Явно неверный ответ. Например, берём $X,Y$ стандартные нормальные, независимые, $t_2=1$, $t_1=0$. Совместное распределение $Y$ и $X+Y$ нормальное с матрицей ковариаций

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Коэффициент корреляции $\rho=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, плотность нормального вектора $(Y,X+Y)$ с данной матрицей ковариаций равна

$$ p(x_1,x_2)=\dfrac{1}{2\pi}\,\exp\left\{-\left(x_1^2-x_1x_2+\dfrac{x_2^2}{2}\right) \right\}. $$

А по приведённой формуле получается что-то типа

$$ p(x_1,x_2)=\dfrac{1}{2\pi}\, \exp\left\{-\left(\dfrac{5x_1^2}{2}-3x_1x_2+x_2^2\right)\right\}. $$