Преобразования случайных величин, найти математич. ожидание

[_MORV_]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, в решении следующей задачи.



Заранее спасибо за помощь!)

П.С. В "тупик" поставил модуль... Точнее, нахождение плотности распределения от этого модуля. В этом, в принципе, и вся проблемма, так как нахождение данной плотности и позволяет вычислить мат.ожидание.

[ИСН]

[_MORV_]

Не заметил надписи сверху про math. Извините, сейчас исправлю.

Добавлено спустя 10 минут 5 секунд:

Случайные величины $\xi_{1}$, $\xi_{2}$, $\ldots$ независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0. 1]. Найти математическое ожидание случайной величины

$$\eta_{n} = \sum_{i=1}^n |\xi_{i + 1} - \xi_{i}|$$

[ИСН]

Ну вот, совсем другое дело.
Разности эти, в отличие от самих величин, уже не будут независимы. Но нам плевать: матожидания складывать можно всё равно. Значит, считаем одну и умножаем на $n$.

[_MORV_]

Это понятно. Проблемма в другом: в

Цитата:

нахождении плотности распределения от этого модуля ...нахождение данной плотности и позволяет вычислить мат.ожидание.

$p_{\xi} (x) = 1$ (x от 0 до 1) - плотность распределения вероятности случайной величины $\xi$. Как посчитать плотность для модуля $|\xi_{i + 1} - \xi_{i}|$ ?

[ewert]

Проинтегрируйте модуль разности двух переменных по квадрату.

[GAA]

_MORV_ писал(а):

Как посчитать плотность для модуля $|\xi_{i + 1} - \xi_{i}|$ ?

1. Разве для вычисления математического ожидания $|\eta|$ не достаточно знать плотность распределения случайной величины $\eta$.
2. Разве плотность случайной величины $\eta = \xi_{i+1}- \xi_i$ нельзя найти по формуле свертки.

[Хорхе]

GAA писал(а):

1. Разве для вычисления математического ожидания $|\eta|$ не достаточно знать плотность распределения случайной величины $\eta$.
2. Разве плотность случайной величины $\eta = \xi_{i+1}- \xi_i$ нельзя найти по формуле свертки.

А зачем так сложно? Предыдущий пост предлагает более простой путь.

[GAA]

Хорхе писал(а):

А зачем так сложно? Предыдущий пост предлагает более простой путь.

Для меня оба способа имеют практически одинаковую сложность, а вот большинство студентов предпочитает вариант с формулой свертки и вычислением математического ожидания модуля. И обдумать студенту разные способы решения будет крайне полезно.

Добавлено спустя 12 минут 20 секунд:

Если, конечно, интерпретировать указание ewertа таким образом: 1) найти функцию распределения модуля; 2) зная функцию распределения, найти плотность.

[Хорхе]

GAA писал(а):

Для меня оба способа имеют практически одинаковую сложность, а вот большинство студентов предпочитает вариант с формулой свертки и вычислением математического ожидания модуля.

Хм, одинаковую сложность?

$$ \iint_{[0,1]^2} |x-y|dx\,dy = 2\int_0^1 \int_0^x (x-y) dy\,dx = 2(1/3-1/6) = 1/3 $$

или

$$ \int_{\mathbb R} |x| f(x) dx, $$

где

$$ f(x) = \int_{\mathbb R} 1_{[0,1]}(y) 1_{[-1,0]}(x-y) dy, $$

это при том, что плотность $-\xi_n$ я посчитал в уме, что не всякий студент повторит .
Причем с последним интегралом у студентов возможны серьезные проблемы: там же случаи надо рассматривать относительно $x, y, \dots$.

[_MORV_]

Как я понимаю, Хорхе, посчитанный Вами двойной интеграл, и есть мат.ожидание.. Следовательно, ответ в данной задаче будет: n/3.

2-ой способ значительно сложнее 1-го для меня, по крайней мере. И Вы правы

Цитата:

с последним интегралом у студентов возможны серьезные проблемы

1-ый же метод прост и понятен.

Спасибо всем большое за то, что Вы откликнулись на мою просьбу.

[_MORV_]

Здравствуйте еще раз!
Помогите, пожалуйста, еще с одной задачей. Задача про цепь Маркова.

Найти математическое ожидание времени $T$ до выхода из множества несущественных состояний, если матрица вероятностей перехода $P$
и распределение $q$ по состояниям в момент $t$ = 0 цепи Маркова
$\xi_{i}$ имеют вид:

\[ P = \left( \begin{array}{cccccc} 3/12 & 2/12 & 1/12 & 3/12 & 1/12 & 2/12 \\ 1/12 & 1/12 & 3/12 & 1/12 & 4/12 & 2/12 \\ 0 & 0 & 3/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2/3 & 1/3 \end{array} \right), q = (1/2, 1/2, 0, 0, 0, 0)\].

Я построил граф состояний и определил, что существенными состояниями будут являться 1 и 2(?не уверен), остальные же будут несущественными состояниями.

Что значит найти математическое ожидание времени $T$ до выхода из множества несущественных состояний? Это значит, подсчитать количество шагов, нужных для выхода из множества этих несущественных состояний? То есть, данное мат.ожидание - есть сумма вероятностей этих $n$ несущественных состояний, нужных для выхода из множества?

[Хорхе]

_MORV_ писал(а):

З
Я построил граф состояний и определил, что существенными состояниями будут являться 1 и 2(?не уверен), остальные же будут несущественными состояниями.

Нет, это неправильно. Несущественное состояние -- это такое, из которого куда-то можно так зайти, что уж никогда не вернуться. То есть, в принципе, все с точностью до наоборот.

[_MORV_]

Цитата:

из которого куда-то можно так зайти, что уж никогда не вернуться

В смысле, не вернуться обратно? Или никуда больше вообще зайти нельзя будет после этого?

[Хорхе]

_MORV_ писал(а):

Что значит найти математическое ожидание времени $T$ до выхода из множества несущественных состояний? Это значит, подсчитать количество шагов, нужных для выхода из множества этих несущественных состояний? То есть, данное мат.ожидание - есть сумма вероятностей этих $n$ несущественных состояний, нужных для выхода из множества?

Честно говоря, ничего из этой фразы не понял. Пусть $E_i$ --- требуемое м.о., при условии старта из состояния $i$. Пусть также $N$ --- множество несущественных состояний. Очевидно, что $E_i = 0, i\notin N$. Тогда для $i\in N$ по формуле "полного мат.ожидания"

$$ E_i = 1+ \sum_{j} E_j p_{ij} = 1+\sum_{j\in N} E_j p_{ij}}. $$

(Формула очень проста -- если мы находимся в несущественном состоянии, то мы должны как минимум один шаг сделать, чтобы из него выйти. Эта единичка написана перед суммой. После этого шага мы смотрим, в каком состоянии мы оказались, и сколько нам из него в среднем идти в одно из существенных состояний. Благодаря марковскому свойству, нам как раз в среднем нужно $E_j$ шагов, если мы попали в состояние $j$.)

Решаем систему и находим $E_i$. Дальше снова по формуле полного м.о. $E = \sum_i E_i q_i$.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

_MORV_ писал(а):

Цитата:

из которого куда-то можно так зайти, что уж никогда не вернуться

В смысле, не вернуться обратно? Или никуда больше вообще зайти нельзя будет после этого?

Ну насчет больше вообще никуда не зайти -- это мегаЛОЛ. Конечно, не вернуться обратно.