Метод неделимых, вычисление площади

[Cat]

Здравствуйте, есть такая задачка, вычислить методом неделимых площадь подграфика функции y=x\cdot arcsin(\frac{1}{x}) на отрезке [1,2]. Когда я строю график, то всю фигуру получается можно разбить на прямоугольник, площадью \pi /3 и фигуру, ограниченную графиком данной функции и линиями y=\pi /3, x=1. Я знаю суть метода неделимых, но не могу догадаться, что именно тут нужно взять за неделимые, чтобы вычислить площадь второй фигуры.
Спасибо за внимание.

[Brukvalub]

Cat в сообщении #170027 писал(а):

Я знаю суть метода неделимых

Тогда, наверное, и меня просветить можете, что это за метод?

[Хорхе]

Brukvalub писал(а):

Cat в сообщении #170027 писал(а):

Я знаю суть метода неделимых

Тогда, наверное, и меня просветить можете, что это за метод?

Как я понял из Педивикии, принцип Кавальери.

[Cat]

Метод неделимых:
1. Плоские фигуры можно считать составленными из параллель-
ных друг другу отрезков или из дуг концентрических окруж-
ностей. Тела можно считать составленными из кусков парал-
лельных друг другу плоскостей или из кусков поверхностей
концентрических цилиндров или сфер. Составляющие фигуры
и тела части мeньшей размерности называются “неделимыми”
2.Если между “неделимыми” двух фигур или двух тел установле-
но взаимооднозначное соответствие, сохраняющее расстояния
между неделимыми, то площади фигур (объемы тел) находят-
ся друг к другу в том же отношении, в котором находятся друг
к другу их “неделимые”.

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

Вот с тем как построить отображение у меня как раз возникли проблемы.

[Хорхе]

Вообще получается $\sqrt{3}/2 + \pi/3-\pi/4$. Ну это так, чтобы легче представить, какие неделимые нужны.

[Cat]

Ну да, это у меня обычными методами вышло. Вот \pi /3 это площадь прямоугольника. Площадь той фигуры, ограниченной тремя линиями получается \sqrt{3}/2 - \pi /4. Но чего-то всё равно не могу догадаться какая еще фигура такой же площадью обладает и как в неё первую перевести...

[Хорхе]

Я даже представляю, откуда все эти числа взяться могут.

Нарисуем горизонтальный отрезок $AB$ длины $1$. Восстановим в точке $B$ перпендикуляр и отложим на нем наверх точку $C$ так, что $AC=x$. Тогда $x\arcsin(1/x)$ --- длина (против часовой стрелки) дуги $AB$ окружности, описанной вокруг $ABC$. В крайнем положении ($x=2$) как раз имеем $BC = \sqrt{3}/2$. Что с этим можно делать, не знаю.

Что-то наврал... Хотя вроде нет. Ну, наврал, конечно. В крайнем положении $BC = \sqrt{3}$. Пошел переучиваться.

PS А $\sqrt{3}/2$ --- это как раз площадь треугольника $ABC$ в крайнем положении. А $\pi/12$ --- площадь кругового сектора на дуге $AB$ в крайнем положении. К чему бы это?

Добавлено спустя 21 минуту 41 секунду:

Эврика!

Добавлено спустя 3 минуты 9 секунд:

Возьмем кольцо внутреннего радиуса 1 и внешнего радиуса 2.

Проведем две параллельные касательные к "дырке". Тогда, согласно тому, что я выше сказал, данный интеграл равен площади одной из получившихся "четырехугольных" частей.

Что и требовалось доказать. Я бог.

[Cat]

Спасибо большое!

Добавлено спустя 55 минут 29 секунд:

Только получается не площади, а половине площади от этой части.
Площадь "четырехугольной" части можно найти, если вычесть из площади кольца(3\cdot \pi) две площади сегмента и поделить пополам, получится \pi /6+\sqrt{3}

[Хорхе]

Cat писал(а):

Спасибо большое!

Добавлено спустя 55 минут 29 секунд:

Только получается не площади, а половине площади от этой части.
Площадь "четырехугольной" части можно найти, если вычесть из площади кольца(3\cdot \pi) две площади сегмента и поделить пополам, получится \pi /6+\sqrt{3}

Угу, я там всюду наврал. Во-первых, в предложении про кольцо читать нужно не "радиуса", а "диаметра", чтобы оно имело отношение к предыдущему. Во-вторых, все равно получается вдвое меньше, не могу понять почему, вроде все правильно.

Ну да, конечно. Снова путаю радиусы с диаметрами. Чтобы получить площадь, мы же должны интегрировать не по диаметру $x$, а по радиусу $x/2$!! То есть интеграл будет равен двум площадям!

[Cat]

Спасибо.
То есть в итоге получается, что в роли неделимых в данном случае будут дуги окружностей?

[Хорхе]

Cat писал(а):

Спасибо.
То есть в итоге получается, что в роли неделимых в данном случае будут дуги окружностей?

Да. А в роли других неделимых -- вертикальные отрезки, заданные интегралом.
Но. Чтобы в точности применить метод неделимых, надо взять полудуги окружностей для вдвое большего кольца, о котором я сначала писал. Тогда все как надо -- расстояния между соответствующими неделимыми будут сохраняться.

[Cat]

А как треугольники соответствующие будут располагаться в кольце?

Добавлено спустя 2 часа 5 минут 40 секунд:

Катет длиной 1 - это будет радиус внутренней окружности?

[Хорхе]

Cat писал(а):

А как треугольники соответствующие будут располагаться в кольце?

Добавлено спустя 2 часа 5 минут 40 секунд:

Катет длиной 1 - это будет радиус внутренней окружности?

Так и будут располагаться: середина гипотенузы --- это центр кольца, вершины лежат на двух параллельных касательных к внутреннему кольцу, один из катетов лежит на касательной.