Параметризация рациональной кривой

[nnosipov]

Речь идет о кривой, заданной уравнением $y^3+27x(x^3+6x^2+3x-1)y-729x^3=0$. Предлагается найти ее рациональную параметризацию.

Комментарий. В принципе, есть алгоритм, он реализован в Maple. Но хочется найти решение попроще, тем более что ответ в Maple выглядит весьма громоздко. Да и DeepSeek V4 почему-то не справляется с этой задачей.

[dmd]

Sage для кривых рода ноль тоже имеет процедуру получения параметризации.

x -> (-146068*t^3 + 2756*t^2 - 13*t)/(-1889363*t^3 + 45746*t^2 - 370*t + 1),
y -> (57557682*t^4 - 1026675*t^3 + 4563*t^2)/(-252079129*t^4 + 7970254*t^3 - 94755*t^2 + 502*t - 1)

Может существовать более компактная параметризация?

[nnosipov]

dmd в сообщении #1723613 писал(а):

Может существовать более компактная параметризация?

Да, она существует. Попробуйте допилить полученные Вами формулы. Maple дает другую (и еще более громоздкую) параметризацию, но она доводится до кондиции очень быстро.

Похоже, мне просто повезло с Maple :)

[dmd]

x -> -((3*(1 + 18*t)^2*(1 + 54*t))/(2*(1 + 972*t^2))),
y -> -((18*(1 + 18*t)*(1 + 54*t)^2)/(1 + 972*t^2)^2)

Она, или есть еще компактнее?

[nnosipov]

dmd
Да почти то же, что у меня, только коэффициенты можно сделать поменьше:

$$x=\frac{s(s-1)^2}{s^2+s+1}, \quad y=\frac{27s^2(s-1)}{(s^2+s+1)^2}.$$

Здесь интересно выразить параметр (у меня $s$, у Вас $t$) через $x$ и $y$. Это выражение получается неожиданно громоздким!

[dmd]

$s=\dfrac{162x^2 - 3y - 18xy - 36x^2y - 6x^3y + 2y^2}{243x - 81x^2 - 3y - 45xy + 9x^2y + 3x^3y - 6y^2 - xy^2}$

[nnosipov]

Да, так и есть.