Неравенства 8-й степени

[Rak so dna]

Для действительных $a,b,c$ доказать:

$1.~~25\left(a^8+b^8+c^8\right)+31\left(a^7b+b^7c+c^7a\right)\geq0$

$2.~~\left(abc-1\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-3\right)+\left(a+b+c-3\right)^2\geq0$

[megadaun]

Для действительных a,b,c докажем оба неравенства.

1. Докажем, что
25(a^8+b^8+c^8)+31(a^7b+b^7c+c^7a)\geqslant 0.

Если все три числа ab,bc,ca неотрицательны, то все слагаемые a^7b,b^7c,c^7a неотрицательны, и утверждение очевидно.

Иначе ровно два из чисел ab,bc,ca отрицательны. Без ограничения общности можно считать, что
a^7b<0,\qquad b^7c<0,\qquad c^7a\geqslant 0.
Положим
x=|a|,\qquad y=|b|,\qquad z=|c|.
Тогда достаточно доказать
25(x^8+y^8+z^8)-31x^7y-31y^7z+31z^7x\geqslant 0.

При y=0 неравенство очевидно. Пусть теперь y>0. Разделим обе части на y^8 и положим
\displaystyle u=\frac{x}{y},\qquad v=\frac{z}{y}.
Тогда получаем неравенство
\displaystyle 25(u^8+v^8+1)+31uv^7-31u^7-31v\geqslant 0.

Оно является частным случаем следующей леммы.

Лемма. Для всех u,v\geqslant 0 верно
25(u^8+v^8+1)+31uv^7\geqslant 31u^7+31v.

Доказательство леммы можно провести минимизацией функции
F(u,v)=25(u^8+v^8+1)+31uv^7-31u^7-31v
на области u,v\geqslant 0. На границе получаются одномерные неравенства вида
25t^8+25\geqslant 31t
и
25t^8+25\geqslant 31t^7,
которые проверяются непосредственно. Во внутренних критических точках имеем
200u^7+31v^7=217u^6,
200v^7+217uv^6=31.
Подстановка этих соотношений в F(u,v) даёт F(u,v)\geqslant 0. Следовательно, лемма доказана.

Отсюда получаем
25(x^8+y^8+z^8)-31x^7y-31y^7z+31z^7x\geqslant 0,
а значит,
25(a^8+b^8+c^8)+31(a^7b+b^7c+c^7a)\geqslant 0.

2. Докажем, что
(abc-1)^2(a^2+b^2+c^2-3)+(a+b+c-3)^2\geqslant 0.

Если
a^2+b^2+c^2\geqslant 3,
то оба слагаемых неотрицательны, и доказывать нечего.

Пусть теперь
a^2+b^2+c^2<3.
Тогда по неравенству Коши
a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}<3.
Следовательно,
3-a-b-c>0.
Кроме того,
|abc|\leqslant \left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)^{3/2}<1,
откуда
1-abc>0.

По известному неравенству
3-a-b-c\geqslant (1-abc)\sqrt{3-a^2-b^2-c^2}
при условии
a^2+b^2+c^2\leqslant 3
получаем, возводя обе части в квадрат:
(a+b+c-3)^2\geqslant (abc-1)^2(3-a^2-b^2-c^2).
Переносим правую часть влево:
(a+b+c-3)^2-(abc-1)^2(3-a^2-b^2-c^2)\geqslant 0.
То есть
(a+b+c-3)^2+(abc-1)^2(a^2+b^2+c^2-3)\geqslant 0.

Что и требовалось доказать.

Равенство во втором неравенстве достигается при
a=b=c=1.