ТФКП, теорема про вычеты.

[STilda]

Всем известна теорема про вычеты [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_о_вычетах[/url]
Но вот задумался я над примером. Что по сути произошло? Мы имели задачу, не решаемую приемами действительного анализа. Перешли от нее в комплексную область. Там решили! И вернулись обратно уже с решением. Удивительно!

Пофилосовствуем. Процесс решения это процесс пошагового применения некоторых правил перехода от того что имеем к новому. Получается, нам не хватало этих правил для того чтобы прийти к результату. А потом мы расширяем набор правил и решаем задачу. Меняется пространство для траектории решения. Из отправного пункта в пункт назначения мы приходим по комплексной траектории. Мне кажется таким приемом можно огромные и сложные формулы и доказательства упрощать намного. Сложность берется от бедности набора правил по которым можно ходить. Было бы классно очень трудоемкие вычислительные задачи упростить до неузнаваемости расширив набор правил. Например теорему ферма бабахнуть выйдя в какую нибудь гиперкомплексную алгебру. Фантазия разыгралась капитально. Получается, формула - описание траектории для текущего набора правил хождения. Но пешка не может ходить как конь, буквой Г, а потому для нее есть принципиально не решаемые задачи. Вот есть люди, по телевизору показывают иногда, которые мгновенно умножают любые числа. Получается они умеют ходить по другим правилам, и ответ получают за пару ходов, а у нас это долго и мучительно, поразрядно.

Ну а вопрос, кто что видел/встречал подобное? Чтоб таким переходом решались задачи. И вообще, какие аналогии и мысли?

[Sonic86]

Теорема Ферма, кстати, классический пример - ее обобщают до аналогичного равенства в кольце алгебраических чисел (равенство с точностью до единицы). Не совсем сильное обобщение, конечно, но впечатляет.

Еще есть пример вычисления сумм $\sum\limits_{n=1}^{+ \infty}\frac{1}{n^m}$ с помощью рядов Фурье. Тоже удивляет. Да и сами ряды Фурье как базис линейного пространства функций (условия забыл) тоже выглядят обалденно: разложение функции в ряд Фурье как частный случай разложения вектора по базису!!!

[Норберт]

Эта книга http://www.kodges.ru/2008/03/18/dokazat ... hshie.html полна подобных примеров.

[Gortaur]

Иногда такое впечатление, что построенная система бедновата в принципе. ТФКП имеет первый результат который поражает своей простотой: теорема Коши и его же интеграл. Отсюда следует очень много свойств (например, аналитичность функции, дифференцируемой в смысл $\mathh{C}$).

C другой стороны, довольно много вещей по-моему должны быть расширены. Почему нет событий с отрицательными вероятностями?

[kvanttt]

Gortaur писал(а):

C другой стороны, довольно много вещей по-моему должны быть расширены. Почему нет событий с отрицательными вероятностями?

Потому что непонятно что такое отрицательная вероятность:
это типо если вероятность -0.3, то ""антисобытие" произойдет с вероятностью 0.3?" - ахинея, хотя что-то в этом есть. Кроме того можно, если на то уже пошло, ввести вероятность > 1, а может даже комплексную

Области, где можно что-либо расширить в математике, встречаются повсюду:
Можно ввести нецелые измерения в евклидовы пространства, да и вообще везде, где допущены только целые числа можно ввести нецелые или комплексные или кватернионы или свою алгебру придумать)), ведь ввел же Эйлер когда-то комплесные числа, не говоря уж про отрицательные)

Только возникает один вопрос: для чего это все нужно? - да почти не для чего, только для теории и для того, чтобы было. Если это все новое, что будет вводится, будет использоваться в других областях и в практике, тогда это непременно будет общепризнано))

Сорри за оффтоп если что

[Коровьев]

У меня кот был, так тот предпочитал ждать, когда кто-нибудь его поднимет в лифте на седьмлй этаж. Интересно, что творилось в его маленькой головке по поводу двух таких различных путей приводящих к одному результату.
Многие задачи решаемы разными способами. Вот, к примеру, неопределённые интегралы с тригонометрическими функциями легче брать, если выразить тригонометрические функции через "Эйлера". Но в институтах почему-то это не приветствуется. Хотя расширение возможностей - очень полезная вещь.
Или Куммер, он действительно почти доказал БТФ, перейдя в область целых алгебраических чисел кругового поля. Его подвёл такой "пустяк", как неоднозначность разложения на простые множители во многих таких полях. Пытаясь обойти этот "пустяк" Куммер создал новую ветвь математики - теорию дивизоров/делителей в переводе/, которая стала мощным инструментом в руках математиков. А не знай он комлексные числа...

[Yarkin]

STilda писал(а):

Но вот задумался я над примером. Что по сути произошло? Мы имели задачу, не решаемую приемами действительного анализа. Перешли от нее в комплексную область. Там решили! И вернулись обратно уже с решением. Удивительно!


Пофилосовствуем.

Что было бы, если бы действительные числа нам стали известны после комплексных? Много ненужных задач было бы выкинуто в «математическую корзину».

STilda писал(а):

Например теорему ферма бабахнуть выйдя в какую нибудь гиперкомплексную алгебру.

Достаточно ее рассмотреть в комплексной плоскости: http://dxdy.ru/topic8688-90.html, чтобы понять, чем занимаются математики.

[Полосин]

Чтобы понять теорему, ее нужно обобщить.

Таких примеров много, в математике это весьма распространенный прием. Например, в теории краевых задач: строится обобщенное решение, а затем доказывается (при некоторых дополнительных ограничениях), что оно является классическим.

Многие вопросы ТФДП (например, радиус сходимости степенных рядов) получают полное решение только с привлечением ТФКП.