Как рационализировать ряд?

[Leox]

Всякую рациональную функцию f(x)/g(x), где f(x),g(x) -- многочлены можно легко разложить в степенной ряд

$$ \frac{f(x)}{g(x)}=a_0+a_1 x+a_2 x^2 +\cdots. $$

Существует ли алгоритм решения обратной задачи? Другими словами,
как по ряду a_0+a_1 x+a_2 x^2 +\cdots восстановить многочлены
f(x),g(x)? Понятно что это возможно не для всякого ряда, а если и возможно, то неоднозначно. Поэтому предположим что нам известно то что ряд можно рационализировать, тоесть нужные f(x),g(x) существуют, а также будем требовать(для единственности решения) несократимости дроби f(x)/g(x).

Существует ли какой нибудь алгоритм решающий такого рода задачи?

P.S. Если извесно рекурентное уравнение для последовательности a_n то можно искать стандартными методами порождающую функцию этой последовательности. Как быть если неизвесна ни формула общего члена, ни рекурентное уравнение?

[maxal]

Задача алгоритмически неразрешима, если нет ограничения на степени $f(x)$ и $g(x)$. Дело в том, что за конечное время мы сможем "прочитать" лишь конечное число коэффициентов ряда $a_0 + a_1 x + \dots$, в то время как можно указать примеры различных рациональных функций, ряды которых совпадают на любом заранее заданном конечном числе начальных коэффициентов.

Если же степени $f(x)$ и $g(x)$ ограничены, то искать их можно, например, дифференцировать тождество $f(x)=(a_0 + a_1 x + \dots)g(x)$ нужное количество раз и вычислять значения в точке $x=0$ для получения системы линейных уравнений относительно коэффициентов многочленов $f(x)$ и $g(x)$.

Можно также, последовать вашему P.S. и, взяв достаточное количество начальных коэффициентов ряда, найти для них рекуррентную формулу. Впрочем, это также сводится к решению систем линейных уравнений.

[Leox]

Степени числителя и знаменателя известны. Да, скорее придется все свести системе уравнений, хотя это и не гламурно