Сходимость ряда (ТВ)

[Tik-tak]

% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOVdG3aaS % baaSqaaiaadMgaaeqaaaaa!38CA! \[ \xi _i \]- последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин з распределением N(0,1). Доказать что ряд % MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada % WcaaqaamaaemaabaGaeqOVdG3aaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaGccaGL % hWUaayjcSdaabaGaamyAaaaaaSqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaaba % GaeyOhIukaniabggHiLdaaaa!4356! \[ \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{{\left| {\xi _i } \right|}}{i}} \]

расходится с вероятностью 1

[Henrylee]

Используйте закон 0-1 и теорему "о 3-х рядах"

[AndreyXYZ]

Я не понимаю формулировку. Как ряд из случайных величин, принимающих неограниченные значения, может сходиться?
Рассмотрим ряд

$$A=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{|\xi_i|}{i!\,i^{100}}, \; \xi_i \sim N(0,1)$$

Предположим, что он сходится, т.е. существует $B \in \mathbb{R}$, т.ч. $|A|<B$.
1-й способ. Т.к. последовательность бесконечна, то c вероятностью $1$ существует $n \in \mathbb{N}$, т.ч. $\xi_n>Bn!\,n^{100}$. Пришли к противоречию.

Возможно, я ошибся в последнем. Поправьте меня.

2-й способ. Пусть $p_i$ --- вероятного того, что

$$\frac{|\xi_i|}{i!\,i^{100}}$$

не превысит $B$.

$$p_i=\Phi(Bi!\,i^{100})$$

(функция распределения нормальной случайной величины).
Покажем, что

$$\lim_{n \to \infty}\prod_{i=1}^{n}p_i=0$$

. Действительно, все $p_i<1$, поэтому их произведение должно в пределе давать $0$.

И здесь в последнем я не уверен. Приведите контраргумент, т.е.произведение элементов, меньших $1$, не равное в пределе в пределе $0$.

[Хорхе]

AndreyXYZ писал(а):

Возможно, я ошибся в последнем. Поправьте меня.

Поправляю.

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

AndreyXYZ писал(а):

И здесь в последнем я не уверен. Приведите контраргумент, т.е.произведение элементов, меньших $1$, не равное в пределе в пределе $0$.

$$ \prod_{n\ge 1} e^{-1/n^2} = e^{-\pi^2/6}\neq 0. $$

[AndreyXYZ]

Хорхе в сообщении #171396 писал(а):

$$ \prod_{n\ge 1} e^{-1/n^2} = e^{-\pi^2/6}\neq 0. $$

Вижу, спасибо.

AndreyXYZ в сообщении #171394 писал(а):

Рассмотрим ряд

$$A=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{|\xi_i|}{i!\,i^{100}}, \; \xi_i \sim N(0,1)$$

Т.е. Вы хотите сказать, что мой ряд расходится с вероятностью, меньшей $1$?

[Хорхе]

Предложу еще и свое, "не столь научное" доказательство. Пусть $E[|\xi_1|] = a$.
По УЗБЧ
$\frac1n\sum_{k=1}^n |\xi_k| \to a$ почти наверное. Понятно, что тогда для любого $l$ $\frac1n\sum_{k=l}^n |\xi_k| \to a$ почти наверное.Возьмем $n_1$ такое, что $P(\frac1{n_1} \sum_{k=1}^{n_1}>a/2)>1/2$. Возьмем далее $n_2$ такое, что $P(\frac1{n_2}\sum_{k=n_1}^{n_2} |\xi_k| >a/2) >3/4$. Возьмем далее $n_3$ такое, что $P(\frac1{n_3}\sum_{k=n_2}^{n_3} |\xi_k| >a/2) >7/8$... Тогда по лемме Бореля-Кантелли имеет, что почти наверное для бесконечно многих $m$ $\frac1{n_m}\sum_{k=n_{m-1}}^{n_m} |\xi_k| >a/2$. Осталось заметить, что

$$ \sum_{i\ge 1}\frac{|\xi_i|}{i}> \sum_{m\ge 1}\frac1{n_m}\sum_{k=n_{m-1}}^{n_m} |\xi_k|. $$

Замечу, что нормальность нигде не использовалась.

Добавлено спустя 1 минуту 55 секунд:

AndreyXYZ писал(а):

Т.е. Вы хотите сказать, что мой ряд расходится с вероятностью, меньшей $1$?

Да, он расходится с вероятностью 0.

[--mS--]

AndreyXYZ писал(а):

Предположим, что он сходится, т.е. существует $B \in \mathbb{R}$, т.ч. $|A|<B$.

Это годится для числового ряд, но не для ряда из случайных величин.

[AndreyXYZ]

--mS-- писал(а):

AndreyXYZ писал(а):

Предположим, что он сходится, т.е. существует $B \in \mathbb{R}$, т.ч. $|A|<B$.

Это годится для числового ряд, но не для ряда из случайных величин.

А какое тогда определение сходимости для ряда из случайных величин. Насколько я понимаю, мы не можем заранее задать границу?

[Хорхе]

Ряд из случайных величин -- более-менее обычный функциональный ряд, и его предел -- функция.

[Henrylee]

Если бы этот ряд сходился п.н., то по теореме Колмогорова о трех рядах при любом $c>0$ сходился бы ряд

$$ \sum E\eta_i^c,\quad \mbox{где}\quad \eta_i^c=\frac{\xi_i}i{\bf 1}\{|\xi_i|\leqslant ic\} $$

Так как

$$ E\eta_i^c=\frac{\sqrt{2}}{i\sqrt{\pi}}\left(1-e^{-i^2c^2/2}\right), $$

то исходный ряд не является п.н.сходящимся. Вследствие закона 0-1, он п.н. расходится.