Рискну обратиться. Чему равна первая производная от

[Serge_BN]

y=f(u), u=g(x) -> y'_x=f'_u(u) \cdot g'_x(x)
tg'(2x)=tg'(u)|_{u=g(x)=2x} =tg'_u(u) \cdot g'_x(x)=
$\frac{1}{cos ^2(u)} \cdot g'_x(x)|_{u=g(x)=2x}=$
теперь
$g'(x)=(2x)'=2$
подставляем вместо $g'_x(x)$ значение 2 и получаем
$\frac {2}{cos^2(u)}|_{u=2x}$
Если все верно, то что делать с u?
Наверно так
$tg'(2x)=\frac{2}{cos^2(2x)}$

[Brukvalub]

Serge_BN в сообщении #170462 писал(а):

Наверно так
$tg'(2x)=\frac{2}{cos^2(2x)}$

Так.

[Serge_BN]

Brukvalub писал(а):

Так.

Краткость чему-то там сестра. Спасибо.

[Nerazumovskiy]

и ведь каждий хочет висказатся

[Danila88]

Берётся производная от тангенса и умножается на производную от аргумента тангенса (дифференцирование сложной функции)

[bot]

Таня Тайс писал(а):

... $tg'(g(x))=\frac{1}{cos^2(g(x))}$ -так нехорошо писать, т.к. непонятно, по чему дифференцируем ...

Совсем напротив именно так писать хорошо - именно здесь понятно какую функцию дифференцируют и в какой точке:
$tg'(g(x))=\frac{1}{cos^2(g(x))}$ - это производное число функции $tg$, вычисленное в точке $g(x)$.
Запись $(tg(g(x))'$ трудно истолковать иначе, чем дифференцирование композиции в точке $x$.
А вот если штрих повесить некуда из-за необозначенности функции символом, возникают проблемы однозначного прочтения.
Пример:

$(e^{2x})'=e^{2x}$ - экспоненту продифференцировали в точке $2x$
$(e^{2x})'=2e^{2x}$ - продифференцировали сложную функцию в точке $x$

Если букву для функции вводить не хочется, то неопределённость здесь можно устранить, к примеру так:

$(x \rightarrow e^x)'(2x)=e^{2x}$
$(x \rightarrow e^{2x})'(x)=2e^{2x}$

[ewert]

bot писал(а):

А вот если штрих повесить некуда из-за необозначенности функции символом, возникают проблемы однозначного прочтения.
Пример:

$(e^{2x})'=e^{2x}$ - экспоненту продифференцировали в точке $2x$
$(e^{2x})'=2e^{2x}$ - продифференцировали сложную функцию в точке $x$

Никаких проблем, первое очевидно неверно. Вот если б Вы написали $\exp(2x)$, то вот тогда... тогда -- тем более никаких проблем.

А вот это уж -- полнейшее безобразие:

Цитата:

Если букву для функции вводить не хочется, то неопределённость здесь можно устранить, к примеру так:
$(x \rightarrow e^x)'(2x)=e^{2x}$

Я бы ещё понял, коли б $(t \mapsto e^t)'(2x)=e^{2x}$ -- тут можно и посмеяться, а так -- грустно.

[Genya]

производная от 2х это просто 2.ошиблись

[bot]

ewert писал(а):

Я бы ещё понял, коли б $(t \mapsto e^t)'(2x)=e^{2x}$ -- тут можно и посмеяться, а так -- грустно.

Ну и почему же Вам взгрустнулось, друг мой?
Единственное прегрешение здесь вижу лишь в употреблении $\rightarrow$ вместо $\mapsto$. На момент написания просто сразу не вспомнил, поскольку не так уж и часто приходится употреблять и не затруднил себя поиском - типографские изыски не так уж давно вошли в употребление и не так уж употребительны.
Что касается употребления $x$ в разных ролях (одно Вы заменили на $t$), то здесь я сознательно нарывался.
В выражении $(x\rightarrow e^{2x})$ описывается функция, к которому можно придираться ровно так же как и к обозначению $exp(x)=e^{2x}$ - в обоих случаях не указано множество, на котором действует указанное формальное правило - на формализации понятия функции я здесь останавливаться не стану. Не станете же Вы возражать, что $(x\rightarrow e^{2x})$ и $(t\rightarrow e^{2t})$ это одна и та же функция ? Если указать область действия $x>0$, то и так можно $(\frac{1}{2}\ln x \rightarrow x).$
Фактически $(x\rightarrow e^{2x})$ это буковка для обозначения функции. Что теперь мне мешает посчитать значение этой функции в точке $x$?
Совершенно ясно, что зона действия первого икса ограничена скобками, а икс за скобками к иксу внутреннему не имеет никакого касательства ровно так же как параметры описанные внутри подпрограммы становятся свободными для употребления вне этой подпрограммы.

[ewert]

ну тогда Вас и написать

$$\int_x^{2x}3x\,dx$$

, наверное, нисколько не затруднит

[bot]

Ожидаемый ответ.
Да, конечно, не затруднит нисколько. Но по сути мы отклонились. Я ведь говорил о несовершенности обозначений, вследствие чего одно и то же выражение может быть истолковано неоднозначно.
Вот примером такого неоднозначного толкования является теорема о дифференцировании суперпозиции. Что кроме этого несовершенства порождает понятие инвариантности формы первого дифференциала и неинвариантности второго?
Предвижу ответ - удобство в применении. Да, удобно ... , но только в случае, если понимаешь эту игру буков. Вы не пробовали излагать формулу Тейлора для функции многих переменных? Когда сводишь этот случай к одномерному, все ли студенты видят, что стоит за игрой букв в этом сведении?
Большинство просто не доверяют лектору, который писал на доске

$f(x_0+\Delta x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{d^kf(x_0)}{k!}+R_{n+1}$

и предпочитают переписать из Фихта эту же формулу, но с расписыванием дифференциалов через частные производные.
Наверно они считают, что так внушительнее, а потому надёжнее.

Та же самая ерунда происходит с частными производными по направлению. Доказал лектор в одну строчку из определений дифференцируемости и производной в направлении, что последняя есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление, а что на экзамене слушаешь? Трёхмерный случай с углами и направляющими косинусами.