Показать, что факторкольцо является полем

[intruder04]

вот такая задача:

Показать, что факторколько 2Z/14Z является полем и найти все порождающие его мультипликативной группы.

Прошу помощи у вас, т.к ни интернет, ни преподаватели помочь не могут

[Brukvalub]

intruder04 в сообщении #170854 писал(а):

Показать, что факторколько 2Z/14Z является полем

А какое количество элементов у этого кольца?

[intruder04]

Ничего про это не сказано. Я не знаю...думаю для задачи это не важно

[VAL]

intruder04 писал(а):

Ничего про это не сказано. Я не знаю...думаю для задачи это не важно

Неправильно думаете. Именно это как раз и важно.

Добавлено спустя 6 минут 8 секунд:

VAL в сообщении #170938 писал(а):

...найти все порождающие его мультипликативные группы.

А зададании прямо так и написано? Может быть, "найти все порождающие его мультипликативной группы"?

[intruder04]

VAL писал(а):

intruder04 писал(а):

Ничего про это не сказано. Я не знаю...думаю для задачи это не важно

Неправильно думаете. Именно это как раз и важно.

Добавлено спустя 6 минут 8 секунд:

VAL в сообщении #170938 писал(а):

...найти все порождающие его мультипликативные группы.

А зададании прямо так и написано? Может быть, "найти все порождающие его мультипликативной группы"?

Да, действительно
Найти все порождающие его мультипликативной группы..

[Brukvalub]

intruder04 в сообщении #170958 писал(а):

Да, действительно
Найти все порождающие его мультипликативной группы..

Правильно ли я понимаю, что в изучении теории колец и полей Ваши успехи пока не продвинулись дальше умения переписать условие задачи в форум, да и то с ошибками.
В таком случае дальнейший диалог с Вами теряет какой-либо смысл....

[AndreyXYZ]

Да ладно, дайате поможем человеку А то еще отчислят его, пойдет в армию. А мы потом виноваты будем!

$$2\mathbb{Z}/14\mathbb{Z}=\{0,2,4,6,8,10,12\} \cong \{0,1,2,3,4,5,6\} \cong \mathbb{Z}_7$$

$$\mathbb{Z}_7$$

является полем, т.к. $7$ --- простое.
Порождающие мультипликативной группы --- все элементы факторкольца.

Скажите пожалуйста, как правильно записать фактор-кольцо

$$2\mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$$

на $\TeX$?

[VAL]

AndreyXYZ в сообщении #171052 писал(а):

Порождающие мультипликативной группы --- все элементы факторкольца.

Даже 0?!?!
На самом в мультипликативной группе всего $6$ элементов, а порождающими являются и вовсе всего $2 = \varphi(6)$.

[Brukvalub]

AndreyXYZ в сообщении #171052 писал(а):

Да ладно, дайате поможем человеку Smile А то еще отчислят его, пойдет в армию. А мы потом виноваты будем!

Так он и на Новый Год напиться может и начать дебоширить, а мы потом отвечай.
У меня прямо голова кругом идет от меры своей ответственности!

[AndreyXYZ]

VAL в сообщении #171061 писал(а):

Даже 0?!?!
На самом в мультипликативной группе всего $6$ элементов, а порождающими являются и вовсе всего $2 = \varphi(6)$

$0$, конечно, не является порождающим мутьпликативной группы, а все остальные элементы являются.
$2+2=4$
$2+2+2=6$
$2+2+2+2=8$
$2+2+2+2+2=10$
$2+2+2+2+2+2=12$

$4+4=8$
$4+4+4=12$
$4+4+4+4=2$
$4+4+4+4+4=6$
$4+4+4+4+4+4=10$

$6+6=12$
$6+6+6=4$
$6+6+6+6=10$
$6+6+6+6+6=2$
$6+6+6+6+6+6=8$

$\ldots$

[ha]

Это аддитивная группа, а не мультипликативная.

[Профессор Снэйп]

AndreyXYZ писал(а):

Скажите пожалуйста, как правильно записать фактор-кольцо

$$2\mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$$

на $\TeX$?

Так и записать, как Вы записали.

Я, правда, ещё извращался следующим образом: \large ${}^{2\mathbb{Z}}/{}_{14\mathbb{Z}}$ или \Large ${}^{2\mathbb{Z}}/{}_{14\mathbb{Z}}$.

[math]\large ${}^{2\mathbb{Z}}/{}_{14\mathbb{Z}}$[/math]

[math]\Large ${}^{2\mathbb{Z}}/{}_{14\mathbb{Z}}$[/math]

[mkot]

$$2\mathbb{Z}/14\mathbb{Z}=\{0,2,4,6,8,10,12\} \cong \{0,1,2,3,4,5,6\}=\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$$

Просто интересно, что данный изоморфизм устанавливается следующим образом:

$$ 0 \to 0, 8 \to 1, 2 \to 2, 10 \to 3, 4 \to 4, 12 \to 5, 6 \to 6. $$

И в поле слева единицей является 8.

[AndreyXYZ]

Профессор Снэйп в сообщении #171269 писал(а):

\Large ${}^{2\mathbb{Z}}/{}_{14\mathbb{Z}}$.

Это годится. Спасибо!

[intruder04]

AndreyXYZ писал(а):

$$2\mathbb{Z}/14\mathbb{Z}=\{0,2,4,6,8,10,12\} \cong \{0,1,2,3,4,5,6\} \cong \mathbb{Z}_7$$

$$\mathbb{Z}_7$$

является полем, т.к. $7$ --- простое.
Порождающие мультипликативной группы --- все элементы факторкольца.

Этого не достаточно для доказательства...прошу помощи опять(