Всероссийская математическая олимпиада 2 тур (11 класс)

[TOTAL]

voroninv писал(а):

Юстас в сообщении #168016 писал(а):

Что-то не похоже на олимпиаду 11 класса вообще, а на Всейроссийскую - тем более. Разве что последнюю задачу можно на районной 7-классникам дать.

Значит такой уровень тех кто пишет.

Из регламента олимпиады:

Цитата:

" ... во второй тур допускаются только те, кто не набрал ни одного балла в первом туре ..."

[voroninv]

Ars11 писал(а):

5. Точка M - середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точкеM. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности и ME - перпендикуляр к CD. Найти угол AEB

Как доказать, что это будет прямой угол? Помогите.

Ars11 писал(а):

6. Можно ли расставить в клетках шахматной доски натуральные чилса от 1 до 64 так, чтобы сумма чисел в любой фигуре вида (см рис) была кратна 5?

__
|__|__
|__|__| <<< рисунок
|__|

Тут имеются в виду фигуры точно такого вида или их можно поворачивать?

Кстати, у меня есть решения за 11 класс, но самих заданий нет, так вот, по решениям видно, что задания были другие =) Видимо было несколько вариантов этой олимпиады в разных регионах России. Не знаю, смогу ли я достать "свой" вариант задания, но попробую.

[sergey1]

Цитата:

Как доказать, что это будет прямой угол? Помогите.

Угол

$$CED$$

прямой, значит,

$$EM^2=CM*MD$$

, но

$$AB$$

и

$$CD$$

- хорды одной окружности, значит,

$$CM*MD=AM*MB$$

, поэтому

$$EM=AM=MB$$

, значит, угол

$$AEB$$

прямой.
6. Поворачивать можно.

[voroninv]

Спасибо за 5 задачу. В 6 тогда достаточно заметить, что 4 числа, расположенные в вершинах такого крестика должны иметь один и то же остаток от деления на 5
```___
`__|__|__
|__|__|__|
```|__|
Тогда не менее 30 чисел на всей доске должны иметь одинаковый остаток от деления на 5 (надо покрыть такими крестиками всю доску). Но среди чисел от 1 до 64 чисел имеющих одинаковый остаток от деления на 5 не больше 13. Противоречие.

[Dimka]

А не подскажете, как доказать ответ 2-й задачи?

[vlad239]

Рассмотреть функцию $x+x^3+2008x^5$ и доказать, что она монотонна.

Влад.