Коммутативное кольцо является полем тогда и только тогда...

[Alexiii]

Доказать,что коммутативное кольцо будет полем тогда и только тогда,когда оно будет содержать только тривиалы (тривиальные идеалы).

[Cave]

В одну сторону очевидно: если кольцо является полем, то идеалы только тривиальные.
В другую сторону: возьмём произвольный элемент $a\ne 0$ и рассмотрим порождённый им идеал $<a> = \{xa, x\in K\}$, он совпадает со всем кольцом, значит, содержит и элемент $a$, откуда по определению этого идеала следует, что он содержит единицу, и отсюда и из определения идеала вывести, что и $a^{-1}$ тоже лежит в кольце.

[Профессор Снэйп]

Cave писал(а):

...следует, что он содержит единицу...

А если кольцо без единицы?

Если ничего не придумывается, посмотрите сюда. Там в первом из моих сообщений (в котором решается пятая задача) всё разобрано

Добавлено спустя 7 минут 55 секунд:

Кстати, СТОП!

В условии сказано, что кольцо коммутативное, а про ассоциативность ничего не говорится. Давайте-ка за этим последим! В частности, рассуждение, приведённое по ссылке выше, использует ассоциативность умножения, и, следовательно, не годится. Коммутативное кольцо ведь может быть и не ассоциативным. Или не может?

[Cave]

Профессор Снэйп
Да, это моя промашка. Отсюда лишь следует, что для любого элемента существует его "личная" единица - элемент, при умножении на который исходный элемент не изменяется.

Надо подумать тогда.

[lofar]

Для колец без единицы утверждение неверно. Возьмите, например, $\mathbb Z_p$ ($p$ -- простое) с нулевым умножением.

[Попов А.В.]

Профессор Снэйп писал(а):

В условии сказано, что кольцо коммутативное, а про ассоциативность ничего не говорится. Давайте-ка за этим последим! В частности, рассуждение, приведённое по ссылке выше, использует ассоциативность умножения, и, следовательно, не годится. Коммутативное кольцо ведь может быть и не ассоциативным. Или не может?

Думаю, что в условии задачи все-таки подразумевается ассоциативное кольцо. А примером коммутативного неассоциативного кольца может служить например двумерная алгебра над Q , с умножением задаваемым правилом: a^2=a, ab=ba=a+b, b^2=b.

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #170749 писал(а):

В условии сказано, что кольцо коммутативное, а про ассоциативность ничего не говорится.

Весьма частно термином "кольцо" называют ассоциативное кольцо.
Что же до исходного утверждения, то оно верно для коммутативного (и, конечно, ассоциативного) кольца с единицей.

[Профессор Снэйп]

VAL писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #170749 писал(а):

В условии сказано, что кольцо коммутативное, а про ассоциативность ничего не говорится.

Весьма частно термином "кольцо" называют ассоциативное кольцо.

Часто, не не всегда.

VAL писал(а):

Что же до исходного утверждения, то оно верно для коммутативного (и, конечно, ассоциативного) кольца с единицей.

Что-то я не понял Ваших слов. Считаете ли Вы, что утверждение верно для любых коммутативных колец, в том числе и не ассоциативных?

[VAL]

Профессор Снэйп писал(а):

VAL писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #170749 писал(а):

В условии сказано, что кольцо коммутативное, а про ассоциативность ничего не говорится.

Весьма частно термином "кольцо" называют ассоциативное кольцо.

Часто, не не всегда.

Кто бы спорил?

Цитата:

VAL писал(а):

Что же до исходного утверждения, то оно верно для коммутативного (и, конечно, ассоциативного) кольца с единицей.

Что-то я не понял Ваших слов. Считаете ли Вы, что утверждение верно для любых коммутативных колец, в том числе и не ассоциативных?

Неужели мою реплику мою реплику можно было понять таким образом?!

Я имел имел в виду следующее:
Пусть $A$ - ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда $A$ является полем только и только тогда, когда в нем ровно два идеала.

Это утверждение в обе стороны доказывается тривиально. Что собственно и было сделано в этой теме.
Можно ли ослабить ограничения на $A$? Полагаю, что нет. Но специально об этом не задумывался.