математический анализ

[Алина:)]

подскажите,пожалуйста, идеи, как и с использованием чего это можно решить..

1. заданы две последовательности $X_n$ и $Y_n$ , заданные рекурретно так $X_(n+1)=(Xn*Yn)^(1/2)$ и $Y(n+1)=(X(n)+Y(n))/2$. доказать их монотонность, ограниченность и то, что их пределы на бесконечности совпадают.

2.$\{ Х_n \}$ ограничена. И $X_(n+1)>X_n-A_n$ . $A(n)>0$ и предел $A_n$ на бесконечности =0. верхний предел $X_n = a$ ; нижний =b . д-ть, что любое число из [a;b] является частичным пределом $X_n$



3. найти все непрерывные функции на луче от 0 до плюс бесконечности, такие, что f(xy)=f(x)*f(y)
для x,y из этого луча

[Taras]

Наберите в ТЕХе, пожалуйста.

[Алина:)]

не подскажете,где можно найти помощь по набору в TEXе? а то я никогда с ним не работала

[Taras]

http://dxdy.ru/topic183.html#901

[id]

3. Очевидно, что
$f(1) = f(1)^2$.
Следовательно, либо $f(1) = 0$, что дает тривиальное решение $f(x) = 0$, либо $f(1)=1$
$f(1) = f(x \frac 1 x) = f(x)f(\frac 1 x) \Rightarrow$
$f(\frac 1 x) = \frac 1 {f(x)}$
$f(x^{\frac p q}) = f(x)^{\frac p q}$.

Дальше по непрерывности распространите последнее на вещественные степени и возьми $f(e_0) = C, C \neq 0$, выразите отсюда что нужно для всех остальных $x$.

Можно еще предварительно заметить, что $f(x 0) = f(x)f(0)$, откуда получим что либо $f(x) = 1$, либо $f(0) = 0$ ( но это только в случае если функция определена в нуле! )

[Алина:)]

спасибо!