Где ошибка? :(

[ewert]

ну я попробую поподробнее. Для честнаго анализу следует привлечь в числителе формулы Тейлора с достаточным к-вом членов. Конкретно: $e^x-1\sim x+x^2/2+O(x^3)$; $e^{-x}-1\sim1-x+x^2/2+O(x^3)$. После сложения получим $x^2+O(x^3)$, которое после деления на знаменатель (имеющий порядок вроде как $x^2$) даёт в пределе вполне определённый результат. (в том случае, конечно, если я не опечатался)

---------------------------------------
да, и опять же неправильные значки: строго говоря, надо ставить не тильды, а точныя равенства...

[Taras]

Если без символов, то можно правилом Л"опиталя?
Должны были формулировать хотя бы.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #158023 писал(а):

Конкретно: $e^x-1\sim x+x^2/2+O(x^3)$; $e^{-x}-1\sim1-x+x^2/2+O(x^3)$. После сложения получим $x^2+O(x^3)$, которое после деления на знаменатель (имеющий порядок вроде как $x^2$) даёт в пределе вполне определённый результат. (в том случае, конечно, если я не опечатался)

Ну почему, ну почему, ну почему Вы, ewert пишете эту дурацкую волну, делая свое объяснение дважды вредным и бессмысленным!!!
1) В первый раз - за то, что в разностях или суммах студент заменяет функции на им эквивалентные, на мех-мате сразу с позором гонят с зачета.
2) Какой смысл писать следующие члены, помимо главного, если Вы пишете эквивалентность! С равным успехом к главному члену можно присобачить любую бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с ним!
Неужели у Вас на клавиатуре пропал знак равенства!

[Ilnur]

Всем спасибо!

[Ilnur]

Вот еще один предел:

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}-x \ln a}{b^{x}-x \ln b}\right)^{\frac{1}{x^2}}$.

Получаю

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}-x \ln a}{b^{x}-x \ln b}\right)^{\frac{1}{x^2}}= \exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}-x \ln a}{b^{x}-x \ln b}-1\right ){\frac{1}{x^2}} \right)= \exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}-x \ln a-b^{x}+x \ln b}{b^{x}-x \ln b}\right ){\frac{1}{x^2}} \right)=\exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}-1-x \ln a-b^{x}+1+x \ln b}{b^{x}-x \ln b}\right ){\frac{1}{x^2}} \right)=\exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x \ln a-x \ln a-x \ln b+x \ln b}{b^{x}-x \ln b}\right ){\frac{1}{x^2}} \right)=\exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{0}{b^{x}-x \ln b}\right ){\frac{1}{x^2}} \right)=... $

Не могли ли подсказать, правильно ли решаю?

[ewert]

Неправильно. То, что у Вас в числителе всё сократилось, означает, что Вы использовали там недостаточно глубокие разложения.

[Ilnur]

ewert писал(а):

Неправильно. То, что у Вас в числителе всё сократилось, означает, что Вы использовали там недостаточно глубокие разложения.

А как быть?

[ewert]

Добавить квадратичные члены ф-лы Тейлора, и всё получится.

[Someone]

Ilnur в сообщении #170101 писал(а):

А как быть?

Больше членов в разложениях взять.

[Ilnur]

А если

$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}-x \ln a}{b^{x}-x \ln b}\right)^{\frac{1}{x^2}}= \exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}-x \ln a}{b^{x}-x \ln b}-1\right ){\frac{1}{x^2}} \right)= \exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}-x \ln a-b^{x}+x \ln b}{b^{x}-x \ln b}\right ){\frac{1}{x^2}} \right)= \exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\left(1+x \ln a +\frac{\ln^2 a }{2!}x^2\right)-x \ln a-\left(1+x \ln b +\frac{\ln^2 b }{2!}x^2\right)+x \ln b}{b^{x}-x \ln b}\right ){\frac{1}{x^2}} \right)=\exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\frac{\ln^2 a }{2!}x^2-\frac{\ln^2 b }{2!}x^2}{b^{x}-x \ln b}\right ){\frac{1}{x^2}} \right)=\exp\left( \frac{\ln^2 a- \ln^2 b}{2} \right) $

[ewert]

Сойдёт.