Продолжение непрерывной функции

[Норберт]

Нужно довести до конца доказательство такого факта: непрерывную функцию заданную на замкнутом подмножестве числовой прямой можно продолжить до непрырывной на всю числовую прямую.
Доказатльство введем так. Дополнение замкнутого множества это открытое, но на числовой прямой открытое множество это счетной объединение неперсекающихся интервалов. На каждом из интервалов доопределим функцию прямолинейным отрезком. Помогите (СТОРГО) доказать что построенная функция непрерывна.

Ссылки на теоремы о нормальных пространствах не принимаются!

[AD]

На смежных интервалах $(\alpha_i,\beta_i)$ полученная вашим способом функция $f$ действительно непрерывна. В точках множества $F$ она непрерывна по $F$ по условию. Остается показать, что $f$ непрерывна на $F$ по $\mathbb{R}$. Возьмем любое $x\in F$, и покажем, например, что $f(x+0)=f(x)$. Если точка $x$ является одной из $\alpha_i$, то вроде всё понятно; в противном случае можно утверждать, что $\forall\delta>0\ (x,x+\delta)\cap F\neq\varnothing$. Теперь возьмем любое $\varepsilon>0$. Так как $f$ непрерывна на $F$ по $F$, то найдется $\delta>0$, такое, что $\forall\ t\in B_{\delta}(x)\cap F\ \ f\at(t)\!\in\!B_{\varepsilon}(f(x))$. Поскольку $\at(x,x+\delta)\cap F\neq\varnothing$, найдется число $\gamma\!\in\at(0,\delta)$, такое, что $x+\gamma\in F$. Тогда для любого $t\in(x,x+\gamma)$ имеем $f(t)\in B_{\varepsilon}(f(x))$ (ведь если какая-то точка из смежного интервала вылезла за $B_\varepsilon(f(x))$, то и один из концов тем более вылезет). А это и означает, что $f(x+0)=f(x)$.

[Норберт]

Мне кажется это доказательство не прокатит для случая когда F = {1 / n} \/ {0}. В этом случае точка 0 не являтся концом ни одного из интервалjв, и фраза вроде все понятно, становится совсем непонятной.

[AD]

Цитата:

В этом случае точка 0 не являтся концом ни одного из интервалjв, и фраза вроде все понятно, становится совсем непонятной.

Точка 0 не является левым концом ни одного из интервалов, поэтому фраза вроде все понятно для нее не произносилась. А когда она является правым концом, то для нее действительно все понятно.

[Норберт]

Спасибо, теперь понятно