упорядочение фигур для рисования

[маткиб]

Дано конечное множество отрезков на плоскости (попарно не имеющих общих точек) и наблюдатель $O$ (точка). Множество отрезков и наблюдатель отделимы друг от друга прямой. Говорят, что отрезок A загораживает отрезок B, если существуют точки $a\in A$ и $b\in B$, лежащие на некотором луче с началом $O$, причем $|OA|<|OB|$. Доказать, что можно занумеровать отрезки так, что никакой отрезок с меньшим номером не будет загораживать отрезок с большим.

Верно ли это утверждение для треугольников в пространстве?

[Хорхе]

По индукции.

Переход: нам достаточно найти отрезок, на который мы можем поставить максимальный номер. Для этого сначала выбираем точку в полуплоскости, где отрезков нет, и смотрим на нее. Потом начинаем вращать головой в плоскости по часовой стрелке. Рисуем вспомогательный отрезок, каждая точка которого означает направление взгляда (скажем, от 0 до 360 градусов). Фиксируем на вспомогательном отрезке, если мы видим ("видим" означает, что ничто его не загораживает) какой-то конец отрезка, "правый" это конец или "левый" ("левый конец" -- это тот, который при вращении головой по часовой стрелке мы видим раньше правого). Может случиться, что для какого-то отрезка невозможно решить, правый мы его конец видим или левый. Это означает, что отрезок полностью лежит на луче взгляда перед остальными отрезками, и мы его сможем занумеровать максимальным номером, ч.т.д. Поэтому предположим, что для всех концов мы с левизной определились. После полного оборота головы мы получили на нашем отрезке запись
Л............П
В какой-то момент в этой записи встречается ЛП. Очевидно, что этот фрагмент относится к отрезку, который ничто не загораживает.

Понятно, что в пространстве можно придумать пример -- сложить треугольники по кольцу "черепичкой".

[маткиб]

Круто! Это решение проще, чем все мне известные!

[AndreyXYZ]

Хорхе
А если такого отрезка не существует? Ваше доказательство, насколько я понял, не учитывает тот факт, что отрезки лежат за прямой. А ведь если это не так, то есть отрезки лежат со всех сторон, то такой отрезок может не существовать.

[worm2]

AndreyXYZ писал(а):

Ваше доказательство, насколько я понял, не учитывает тот факт, что отрезки лежат за прямой.

Учитывает:

Хорхе писал(а):

Для этого сначала выбираем точку в полуплоскости, где отрезков нет.

[маткиб]

Допустим, что наблюдатель и разделяющая прямая фиксированы.

Задача: доказать, что не существует такой функции, ставящей вещественное число в соответствие каждому отрезку, лежащему в противоположной от наблюдателя полуплоскости, что для любого описанного в первой задаче множества отрезков данная функция будет задавать правильную нумерацию.

[AndreyXYZ]

Я с этим не согласен. Зададим функцию слдеующим образом. Пусть функция нумерует отрезки так, что никакой отрезок с меньшим номером не будет загораживать отрезок с большим (их можно занумеровать, т.к. это было доказано выше). Тогда эта фукция для любого конечного множества отрезков будет давать верный результат.

[маткиб]

AndreyXYZ в сообщении #169726 писал(а):

Пусть функция нумерует отрезки так, что никакой отрезок с меньшим номером не будет загораживать отрезок с большим (их можно занумеровать, т.к. это было доказано выше).

Нужна единая функция, т.е. не зависящая от выбираемого множества отрезков.

[TOTAL]

Для двух не заслоняющих друг друга отрезков $A$ и $B$ найдем отрезок $C_1$ такой, что $N(A) < N(C_1) < N(B)$,
и отрезок $C_2$ такой, что $N(A) > N(C_2) > N(B)$.

[маткиб]

TOTAL писал(а):

Для двух не заслоняющих друг друга отрезков $A$ и $B$ найдем отрезок $C_1$ такой, что $N(A) < N(C_1) < N(B)$,
и отрезок $C_2$ такой, что $N(A) > N(C_2) > N(B)$.

Принято.