уравнение перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым

[daogiauvang]

Даны уравнения две скрещивающиеся прямые:
$l_1$ :$\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}$
и$l_2$ :$\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}$
Написать уравнение общей перпендикулярной прямой отн. $l_1$ и $l_2$.
и расстояние между $l_1$ и $l_2$

[Brukvalub]

Проведите через каждую из прямых плоскость, перпендикулярную другой прямой, линия пересечения этих двух плоскостей и есть общий перпендикуляр.
Расстояние между прямыми равно отношению модуля смешанного произведения направляющих векторов двух прямых и вектора, соединяющего начальные точки этих прямых к модулю векторного произведения направляющих векторов двух прямых.

[GAA]

Я бы решал так
1.
A. Построил плоскость, проходящую через одну из прямых параллельно второй прямой: пусть это плоскость $\alpha_1$, которая проходит через $l_1$ и параллельна $l_2$.
B. Построил бы плоскость $\pi_1$, перпендикулярную $\alpha_1$ и проходящую через $l_1$.
C1 (если задача на построение) Построил бы плоскость $\pi_2$ перпендикулярную $\alpha_1$ и проходящую через $l_2$. Пересечение $\pi_1$ и $\pi_2$ задает искомую линию.
C2 (если задача на составление уравнения прямой). Ищем точку пересечения $\pi_1$ и $l_2$ — это будет точка, через которую проходит искомая прямая. Направляющий вектор искомой прямой коллинеарен векторному произведению направляющих векторов $l_1$ и $l_2$.

2. Строю плоскость $\alpha_1$ как в 1, а затем нахожу расстояние от заданной точки, через которую проходит прямая $l_2$ — точки $M_2(x_2, y_2, z_2)$ — до плоскости $\alpha_1$.

[Brukvalub]

Сейчас перечитал еще раз свой пост в этой теме и понял, что он нуждается в уточнении. Мои слова:

Brukvalub в сообщении #168760 писал(а):

Проведите через каждую из прямых плоскость, перпендикулярную другой прямой

звучат нехорошо. Имелось в виду: Проведите через каждую из прямых плоскость, содержащую векторное произведение направляющих векторов данных прямых, далее - по тексту...

[vvvv]

А я хотел было сделать замечание, что это можно сделать
только если сами прямые перпендикулярны.
В общем виде решение получается громоздким.По-моему проще всего сделать так.

[ewert]

Решаем в лоб. Пишем параметрические уравнения исходных прямых:

$\begin{cases}x=x_1+m_1t\\y=y_1+n_1t\\z=z_1+p_1t\end{cases}, \qquad \begin{cases}x=x_2+m_2s\\y=y_2+n_2s\\z=z_2+p_2s\end{cases}$

Вектор
$\overrightarrow{M_1M_1}=\big((x_2-x_1+m_2s-m_1t),\,(y_2-y_1+n_2s-n_1t),\,(z_2-z_1+p_2s-p_1t)\big)$
соединяет произвольные две точки на этих прямых. Ну так и надо потребовать его ортогональности обоим направляющим векторам: $\vec v_1=(m_1,n_1,p_1)$ и $\vec v_2=(m_2,n_2,p_2)$ -- получится линейная системка два на два для неизвестных $t$ и $s$.

(способ хорош тем, что из него моментально получаются требуемые и расстояние, и уравнение общего перпендикуляра)

[vvvv]

Так выше это и проделано! С конкретным числовым примером.

[ewert]

Совершенно не исключено. Разобрать-то там ничего не возможно...

[daogiauvang]

ewert писал(а):

Решаем в лоб. Пишем параметрические уравнения исходных прямых:

$\begin{cases}x=x_1+m_1t\\y=y_1+n_1t\\z=z_1+p_1t\end{cases}, \qquad \begin{cases}x=x_2+m_2s\\y=y_2+n_2s\\z=z_2+p_2s\end{cases}$

Вектор
$\overrightarrow{M_1M_1}=\big((x_2-x_1+m_2s-m_1t),\,(y_2-y_1+n_2s-n_1t),\,(z_2-z_1+p_2s-p_1t)\big)$
соединяет произвольные две точки на этих прямых. Ну так и надо потребовать его ортогональности обоим направляющим векторам: $\vec v_1=(m_1,n_1,p_1)$ и $\vec v_2=(m_2,n_2,p_2)$ -- получится линейная системка два на два для неизвестных $t$ и $s$.

(способ хорош тем, что из него моментально получаются требуемые и расстояние, и уравнение общего перпендикуляра)

Cамый лучший вариант! Спасиб ewert.