Гамильтониан для прецессирующей системы

[amon]

drzewo в сообщении #1676427 писал(а):

А что такое особое решение я не знаю. Что это?

Грубо говоря, огибающая семейства решений. Например, решение $y=0$ уравнения $(y')^2=y.$ Мне кажется, что если в лоб написать Эйлера-Лагранжа для Вашего лагранжиана, то искомое решение окажется особым, и кроме него будет туча мусора.

-- 25.02.2025, 19:57 --

IMHO, для нахождения нужного решения надо искать не просто экстремаль, а глобальный минимум, а это несколько другая вариационная задача, отличная от привычной.

[drzewo]

amon в сообщении #1676428 писал(а):

Грубо говоря, огибающая семейства решений. Например, решение $y=0$ уравнения $(y')^2=y.$ Мне кажется, что если в лоб написать Эйлера-Лагранжа для Вашего лагранжиана, то искомое решение окажется особым, и кроме него будет туча мусора.

Я не понимаю, какое отношение к обсуждаемой задаче имеют уравнения, неразрешенные относительно старшей производной. Что такое <<искомое решение>>?

amon в сообщении #1676428 писал(а):

IMHO, для нахождения нужного решения надо искать не просто экстремаль, а глобальный минимум, а это несколько другая вариационная задача, отличная от привычной.

Там и найден глобальный минимум. Что такое <<нужное решение>>? Изъясняйтесь внятней.

[amon]

drzewo в сообщении #1676431 писал(а):

Что такое <<нужное решение>>? Изъясняйтесь внятней.

Попробую. Искомое решение - решение уравнения

$$\dot x=f(t,x)\quad (*)$$

Для лагранжиана (модуль убрал, ищем вещественные решения, для простоты все одномерно)

$$L(t,x,\dot x)=(\dot x-f(t,x))^2$$

Эйлер-Лагранж будет

$$\frac{d}{dt}(\dot x-f)+(\dot x-f)\frac{\partial f}{\partial x}=0.$$

Это уравнение имеет прорву решений, среди которых есть особое (по-моему) решение уравнения (*). Однако, произвольное решение такого уравнения не будет решением (*). Чтобы отделить нужное решение от прочих, надо, по-моему, искать не просто экстремаль, а глобальный минимум функционала, что, IMHO, отличается от стандартной формулировки принципа наименьшего действия, где любая экстремаль считается решением исходной задачи.

[drzewo]

amon в сообщении #1676434 писал(а):

Искомое решение - решение уравнения

$$\dot x=f(t,x)\quad (*)$$

Решений этого уравнения -- континум. Какое именно из них <<искомое>>?

amon в сообщении #1676434 писал(а):

Для лагранжиана (модуль убрал

Вы понимаете, что это скалярный квадрат?

amon в сообщении #1676434 писал(а):

ищем вещественные решения

про комплексные вроде разговор не шел

amon в сообщении #1676434 писал(а):

для простоты все одномерно)

$$L(t,x,\dot x)=(\dot x-f(t,x))^2$$

а в чем проблема написать уравнения Лагранжа с Лагранжианом

$$L=|\dot x|^2-2(\dot x,f)+|f|^2,\quad x\in\mathbb{R}^m$$

?

amon в сообщении #1676434 писал(а):

Это уравнение имеет прорву решений, среди которых есть особое (по-моему) решение уравнения (*).

Еще раз: что значит <<особое>> в данном контексте?

amon в сообщении #1676434 писал(а):

Однако, произвольное решение такого уравнения не будет решением (*).

Естественно. И я уже объяснил в каком отношении система (*) находится к уравнениям Лагранжа.

amon в сообщении #1676434 писал(а):

Чтобы отделить нужное решение от прочих, надо, по-моему, искать не просто экстремаль, а глобальный минимум функционала, что, IMHO, отличается от стандартной формулировки принципа наименьшего действия, где любая экстремаль считается решением исходной задачи.

Я ничего не понимаю, что тут написано

[amon]

drzewo в сообщении #1676439 писал(а):

Естественно. И я уже объяснил в каком отношении система (*) находится к уравнениям Лагранжа.

Я Вас понял. Беда (моя) в разнице подходов. Я привык считать, что действие первично, а уравнение вторично, и оно однозначно следует из действия. Про "особость", может и глупость сказал. Надо подумать.

[drzewo]

Theoristos в сообщении #1676356 писал(а):

Если не вдаваться в те споры по поводу минимумов-экстремумов.

Не вдавайтесь, оконфузитесь.

Theoristos в сообщении #1676356 писал(а):

Но чему у нас тогда равен обобщённый импульс?

$$p = \frac{\partial L }{\partial \dot{x}}= 2(\dot x-f(t,x))$$

, что согласно уравнению движения тождественно равно 0 для всех "истинных" траекторий?

а сказать-то что хотели?

[Theoristos]

drzewo в сообщении #1689444 писал(а):

Не вдавайтесь, оконфузитесь.

А можете ли вы предсказать как я оконфузюсь перед тем, как произойдёт акт оконфуживания?

drzewo в сообщении #1689444 писал(а):

а сказать-то что хотели?

А с какой целью интересуетесь?

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1676454 писал(а):

Я привык считать, что действие первично, а уравнение вторично, и оно однозначно следует из действия.

Не "привык считать", а именно так! Одни и те же уравнения движения можно получить, варьируя разные "действия". И не все такие "действия" являются действительно действием, физически осмысленным. Предложенное же "действие" бессмысленно. Дает правильные уравнения движения, ну и что, это необходимо, но не достаточно. Кто не верит в эту бессмысленность, пусть попробует это проквантовать. Ничего не выйдет! Что и доказывает физическую бессмысленность предложенного "действия". Вообще физика -- это отнюдь не про дифференциальные уравнения (ходя ДУ и важный инструмент, но лишь инструмент).

Вообще, тут должен быть именно гамильтонов формализм, а не лагранжев. Так как уравнения движения первого порядка. Судя по всему, одна компонента вектора -- координата, вторая - импульс, а третья... А третьей нет, ибо фазовое пространство -- это сфера, а сфера -- двумерное многообразие. Третья компонента просто выражается через две другие, она не является динамической переменной. Более изящно описать бы как систему со связью. Вообще вопрос интересный. Но мне, к сожалению, некогда им грузиться (но на решение я бы быстренько посмотрел).

[drzewo]

Это, кстати, непустое замечание. Действительно, система из стартового поста имеет первый интеграл $|\boldsymbol r|^2$ и инвариантную меру с плотностью $1$.
Поскольку ни то не другое не зависит от времени, сужение исходной системы на поверхность уровня $|\boldsymbol r|^2=\math \rm{const}$ будет иметь инвариантную меру с плотностью независящей от времени. Т.е. на поверхности уровня получается неавтономная гамильтонова система

[drzewo]

amon в сообщении #1676428 писал(а):

Грубо говоря, огибающая семейства решений. Например, решение $y=0$ уравнения $(y')^2=y.$ М

Да, кстати, все забывал:
https://storage4u.ru/file/2025/06/13/8e799acd24902db541fd01d5b297908a.djvu

читайте
3. Nonlinear First-Order PDE

И вообще это очень хороший текст