Гамильтониан для прецессирующей системы

[hvero]

Положим, что материальная точка движется по закону $\dot{\mathbf{r}}(t)=\boldsymbol{\Omega}(t)\times \mathbf{r}(t)$. Можно ли подобрать Гамильтониан для такой системы? По аналогии с магнитным диполем, пробовал $H\sim\mathbf{r} \cdot \mathbf{\Omega}$, но уравнения Гамильтона не сводятся к нужному уравнению движения.

[Theoristos]

Почему бы не выписать уравнения движения?

[hvero]

Theoristos в сообщении #1675889 писал(а):

Почему бы не выписать уравнения движения?

Первая формула это и есть уравнение движения.

[Утундрий]

Можно удвоить переменные.

[Theoristos]

hvero в сообщении #1675894 писал(а):

Первая формула это и есть уравнение движения.

Не динамическая.
Хотя бы начать с переменных $\dot{\mathbf{r}}$, $\ddot{\mathbf{r}}$

[Утундрий]

$H=(\mathbf{p}, \mathbf{\Omega},\mathbf{r})\quad\Rightarrow \quad\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{\Omega}\times\mathbf{r},\;\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{\Omega}\times\mathbf{p}$

[Theoristos]

Утундрий: это ведь для постоянной $\Omega$

[amon]

Утундрий в сообщении #1675906 писал(а):

$H=(\mathbf{p}, \mathbf{\Omega},\mathbf{r})$

$L=\mathbf{p}\dot{\mathbf{r}}-H\equiv 0,$ это ничего?

[Theoristos]

Утундрий в сообщении #1675906 писал(а):

$H=(\mathbf{p}, \mathbf{\Omega},\mathbf{r})\quad\Rightarrow \quad\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{\Omega}\times\mathbf{r},\;\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{\Omega}\times\mathbf{p}$

И теперь, выполняется ли

$\frac{\partial \dot{r_i}}{\partial r_i} \equiv - \frac{\partial \dot{q_i}}{\partial p_i}$ ?

Вроде как нет.

[hvero]

Theoristos в сообщении #1675903 писал(а):

Не динамическая.
Хотя бы начать с переменных $\dot{\mathbf{r}}$, $\ddot{\mathbf{r}}$

На самом деле это упрощение/аналогия уравнений движения для макроскопической ядерной намагниченности (уравнения Блоха). Было интересно понять, можно ли найти Лагранжиан/Гамильтониан для данной системы.

[drzewo]

Пусть $x(t)$ -- решение системы диф. уравнений

$$\dot x=f(t,x)\qquad(*)$$

. Тогда $x(t)$ доставляет минимум функционалу

$$\int|\dot x-f(t,x)|^2dt.$$

Следовательно, всякое решение системы (*) является решением системы уравнений Лагранжа с лагранжианом

$$L(t,x,\dot x)=|\dot x-f(t,x)|^2$$

[Утундрий]

Также это решение доставляет истиннум высказыванию $\dot x=f(t,x)$.

[Theoristos]

drzewo: просто и красиво. Прям, по-фейнмановски. Если не вдаваться в те споры по поводу минимумов-экстремумов.

Но чему у нас тогда равен обобщённый импульс?

$$p = \frac{\partial L }{\partial \dot{x}}= 2(\dot x-f(t,x))$$

, что согласно уравнению движения тождественно равно 0 для всех "истинных" траекторий?

[amon]

drzewo в сообщении #1676209 писал(а):

Следовательно, всякое решение системы (*) является решением системы уравнений Лагранжа с лагранжианом

$$L(t,x,\dot x)=|\dot x-f(t,x)|^2$$

А искомое решение случаем не окажется особым решением уравнений Эйлера-Лагранжа? И как его выковырять из всех остальных?

[drzewo]

amon в сообщении #1676425 писал(а):

А искомое решение случаем не окажется особым решением уравнений Эйлера-Лагранжа? И как его выковырять из всех остальных?

Выковырять легко. $M=\{t,x,\dot x)\mid\dot x=f(t,x)\}$ это инвариантная поверхность в расширенном фазовом пространстве лагранжевой системы. Любое решение уравнений Лагранжа с начальными условиями на $M$ остается на $M$ во все время существования. А что такое особое решение я не знаю. Что это?