эйконал

[drzewo]

Задана лагранжева система

$$L=\frac{1}{2}|\dot x|^2-V(x),\quad x=(x^1,\ldots,x^m)\in\mathbb{R}^m,\qquad (1)$$

и $|\cdot|$ -- стандартная евклидова норма.
И пусть имеется система ОДУ

$$\dot x=\frac{\partial S}{\partial x}(x),\qquad(2)$$

где $S(x)$ некоторая гладкая функция.
На систему (2) можно смотреть как на $m-$мерное подмногообразие фазового пространства системы (1).
Можно показать, что это если

$$\Big|\frac{\partial S}{\partial x}\Big|^2=-V\qquad (3)$$

то все решения системы (2) являются решениями системы (1), в частности, (2) -- это инвариантное многообразие в фазовом пространстве (1).

(3) -- это уравнение эйконала.

(Вся конструкция легко обобщается на случай риманова многообразия.)

Существую ли какие-нибудь физические интерпретации данного наблюдения?
Оптико-маханические аналогии может быть?. Может есть и еще какие-то?

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1689955 писал(а):

Оптико-маханические аналогии может быть?.

Ну дык она самая и есть ... В во второй части Шренгера статьи с которой родилась квантовая механика оптико-механичемеой аналогии посвящена заметная часть... Не уверен , но возможно даже в предвестника статьи Шредингера - р личное де Бройля ..... На так то распространение света по среде с меняющимся показателем преломления ( к этой же задаче сведётся о брахистрохроне, и о цепной линии с крайне нетрадиционными для оптики показателями преломления среды)