2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Cross-cap (кросс-шапочка, кросс-колпачек)
Сообщение10.06.2025, 12:42 


11/12/16
407
сБп
Помогите разобраться с определением и пониманием "кросс-кепки" (если на русском, то синонимов много) поверхности. Хотел бы найти описание этой штуки на русском, но что-то кроме Наглядной топологии Болтянского толком ничего не нашел. Там он говорит о крышечках (шапочках), которыми можно заклеивать дырки поверхности. Но это обычное заклеивание диском дырки. Может быть у Фоменко можно что то нарыть, но пока не смотрел. Как вообще я понял, то "кросс-кеп" геометрически - это такая особенность (сингулярность), например, на 2-мерной поверхности, которая получается заклеиванием дырки поверхности лентой Мёбиуса или штукой гомеоморфной ленте Мёбиуса. Это эквивалентно тому, если мы возьмем ленту Мёбиуса и заклеим её 2-мерным диском. Не знаю, насколько это правильно. Что-то более осмысленного я так и не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cross-cap (кросс-шапочка, кросс-колпачек)
Сообщение10.06.2025, 13:57 
Заслуженный участник


24/08/12
1155
Простейшее описание cross-cap, это "заклеивание дырки" на двумерной поверхности через топологию проективной плоскости (это другими словами, но та же самая топология получается если заткнуть через лентой Мебиуса - у которой только одна граница топологии круга, которая приклеивается к границе дырки).

Для большей наглядности, например если дырка имеет форму круга - то топологически отождествлены противоположные точки границы дырки, по обоим концам диаметра.
Т.е. если "плоскатик" идя по поверхности, "подходит" к дырку в окрестности границы $P$, то "сразу выходит" из окрестности противоположной точки границы $P'$ (при этом легко увидеть, что при этом он будет менять ориентацию - например если представить что у "плоскатика" Г-образная форма, и проследить где будут "появляться" по другой стороне соответствующие точки).
(описание выше, соответствует "заклеиванием" лентой Мебиуса исчезающе малой ширины)

Разумеется такую склейку, нельзя вложить в 3d без самопересечений (наподобии бутылки Клейна).

Вот здесь примерное видео (разница только в том что на видео через cross-cap "заклеивается" дырка на сфере а не на открытой поверхности; но "шапочка" одна и та же); здесь есть то же самое для заклеивания дырки на поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cross-cap (кросс-шапочка, кросс-колпачек)
Сообщение10.06.2025, 14:04 
Заслуженный участник


07/08/23
1555
gogoshik в сообщении #1689785 писал(а):
Как вообще я понял, то "кросс-кеп" геометрически - это такая особенность (сингулярность)

Так думать неправильно. При вклеивании ленты Мёбиуса никаких особых точек не образуется, будет всё равно топологическое многообразие. Просто изменяются глобальные свойства поверхности.

Может, сразу разобраться с чуть более общим понятием склейки поверхности из многоугольников? Например, Борисович, Введение в топологию, §II.4. Это много где написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cross-cap (кросс-шапочка, кросс-колпачек)
Сообщение10.06.2025, 16:40 


11/12/16
407
сБп
Хорошо. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group