Простейшее описание cross-cap, это "заклеивание дырки" на двумерной поверхности через топологию проективной плоскости (это другими словами, но та же самая топология получается если заткнуть через лентой Мебиуса - у которой только одна граница топологии круга, которая приклеивается к границе дырки).
Для большей наглядности, например если дырка имеет форму круга - то топологически отождествлены противоположные точки границы дырки, по обоим концам диаметра.
Т.е. если "плоскатик" идя по поверхности, "подходит" к дырку в окрестности границы
, то "сразу выходит" из окрестности противоположной точки границы
(при этом легко увидеть, что при этом он будет менять ориентацию - например если представить что у "плоскатика" Г-образная форма, и проследить где будут "появляться" по другой стороне соответствующие точки).
(описание выше, соответствует "заклеиванием" лентой Мебиуса исчезающе малой ширины)
Разумеется такую склейку, нельзя вложить в 3d без самопересечений (наподобии бутылки Клейна).
Вот
здесь примерное видео (разница только в том что на видео через cross-cap "заклеивается" дырка на сфере а не на открытой поверхности; но "шапочка" одна и та же);
здесь есть то же самое для заклеивания дырки на поверхности.
