За 2 месяца ни один эксперт не ответил на вопрос. Мы заранее знаем, что указанное свойство не существует для гипотетических Троек Ферма. Но, попытаемся это доказать
почти элементарно для для случая

.
Лемма:
Пусть взаимно простые целые x,y,z удовлетворяют уравнению ВТФ , при нечётном
, и a,b,c являются остатками mod p от x,y,z соответственно. Тогда для каждого нечетного целого числа m в области [3,2n-3] выполнено
.Предварительные замечания:
1. В доказательстве Леммы ниже обозначения
соответствуют остаткам по модулю
(первым цифрам в младших порядках справа) для чисел

,

,

. Тогда, можно использовать обыкновенные равенства-без обозначения сравнений по модулю

.
2. То же самое-для чисел

.
3. То же самое-для

, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, для наименьших целых чётных чисел

, кратных

, и которые являются порядками элемента/ов

(и

, и

) по модулю

, такими, что

.
4. Доказательство считается выполненным, если получены уравнения:

, (1),

, (2),

, (3).
5. Аббревиатура "с/с" означает "система счисления".
Доказательство:
1. Если

и

являются нечётными числами, тогда

в кольце

;
(Эквивалентная формулировка:
В любой с/с
, в соответствии с МТФ. Если использовать эту формулировку, тогда следующий пункт 2 может быть пропущен.)
2. Возведение в степень

обоих чяастей уравнения в п. 1 даёт уравнение

.
3. Вычитание из левой части уравнения в п.2 правой части и возведение во вторую степень даёт уравнение

.
4. Уравнение из п.3 переписано следующим образом:

.
5. Уравнение из п. 4 переписано так:

.
6. Уравнение из п. 5 переписано так:

.
7. Уравнение из п. 6 переписано так:

.
8. Уравнение из п. 7 переписано так:

.
9. Умножение обоих частей уравнения в п. 7 на

позволяет получить уравнение

.
10. Сумма

прибавлена слева и справа уравнения из п. 9 и получено следующее уравнение:

.
11. Упрощение уравнения из п. 10 даёт следующее уравнение:

.
12. Левая часть уравнения п. 11 есть уравнение (1) в квадрате, правая часть уравнения g/ 11 есть произведение уравнений (2) и (3), что доказывает Лемму.
Q.E.D.Полученное доказательство Леммы означает, что существует бесконечное количество гипотетических "Троек Ферма", которые имеют остатки

,

,

по модулю

- цифры в младшей позиции.
Доказательство невозможности иметь одинаковые a, b, c в разных с/с для гипотететических "Троек Ферма" для случая
.1. Пусть

,

,

являются гипотетическими "Тройками Ферма", где

-основание с/с,

-часть числа, которая получается при делении на

соответствующего числа, у которого вычтен соответствцующий остаток по модулю

.
2.

;

;

.
3. Сложение и вычитание соответствующиих уравнений из п.2 в соответствии с уравнением ВТФ и упрощение путём вынесения

,

и

за скобки в необходимых местах даёт следующее уравнение:

.
4. Сокращение на

обоих частей уравнения из п.2 позволяет получить следующее уравнение:

.
5. Уравнение из п. 4 может быть упрощённо записано так:

, где A, B, C определена в уравнение п. 4.
6. Чтобы иметь хотя бы один позитивный корень,

, необходимо иметь дискриминант ,

, для уравнений в п.п. 4 и 5 выше

, т.е.

.
7. Чтобы иметь дискриминант больше 0,

, необходимо иметь

.
8. Поскольку случаи

и

неприемлемы, чтобы иметь целые корни, p, рассмотрим сразу возможность существования случая

. Тогда

, откуда следует, что

, откуда следует, что

.
9. Раскрыв скобки в последнем неравенстве п. 8, и сократив

,

,

согласно условию Леммы

, получено неравенство

, которое безальтернативно влечёт вывод , что

,

,

, если сравнить с первым уравнением в п. 8 выше.
10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9:

не может быть меньше суммы

, что сразу обеспечит аргументауией данное доказательство. И, тогда сразу от п. 7 переходим к данному п. 10 и далее-до конца доказательства.
11. Вывод в п.9 противоречит условиям Леммы и начальным условиям в п. 1 настоящего доказательства, что говорит в пользу того, что не существует каких-то значений

, которые позволяли бы повторяться гипотетическим "Тройкам Ферма" с одними и теми же остатками

/цифрами в младшей позиции при значении степени

, как это характерно для Пифагоровых Троек.
12. Пункты 8-11 подразумевают, что не существует вообще гипотетических "Троек Ферма" при степени

.
Q.E.D.