2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Новое ли и свойство ли это Пифагоровых Троек или пустышка?
Сообщение10.04.2025, 12:38 


26/01/24
112
Речь пойдёт о том, что же это найдено такое-свойство ли это, и новое ли для Пифагоровых Троек (примитивных, пока)? "Свойство примитивных пифагорейских троек бесконечно воспроизводиться подобно трем цифрам меньших порядков в других примитивных пифагорейских тройках при других системах счисления." Для математиков это "нет проблем", $\mod n$ , когда они пишут Пифагорову Тройку так: $x=a \mod n$, $y=b \mod n$, $z=c \mod n$, где $n$ целое $>1$. При этом, естественно, что они имеют в виду следующие записи для соответствующей Пифагоровой Тройки: $x=An+a$, $y=Bn+b$, $z=Cn+c$, где $(A, B, C) $ > или равно 1, целые числа. То, о чём пойдёт речь ниже, использовалось нами не только для Пифагоровых Троек, поэтому, мы изначально выбрали иные обозначения: вместо $n$ мы применяли $p$, которое является не обязательно простым числом; вместо $A, B, C$ мы применяли $t_1, t_2, t_3$, соответственно. [Это вызвало жуткую критику со стороны одной из нероссийских математиков, но мы пренебрегли этой критикой, обосновывая это тем, что не должно быть путаницы с $m, n$ в параметрических уравнениях для Пифагоровых Троек, показанных/применяемых ДАЖЕ в англоязычной Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple] Завершая такое краткое , типа, Введение, скажем , что применяя $\mod$ы (что естественно), мы дальше говорим только новых основаниях числовых систем счисления, в которых мы будем показывать соответствующие Пифагоровы Тройки, которые содержат какие-то исходные Пифагоровы тройки, как младшие цифры. Да...И покажем на примере "Кубических" Четвёрок, что они не следуют такому алгоритму, какой свойственен Пифагоровым Тройкам. При этом , мы держим в уме, что "Кубические" Четвёрки это такие числа, которые являются решения уравнения , вида $a^3+b^3+c^3=d^3$, -например, $3^3+4^3+5^3=6^3$. Больше таких четвёрок можно найти, например. здесь: https://www.researchgate.net/publication/242175197_On_the_solution_of_the_cubic_Pythagorean_Diophantine_equation_x3_y3_z3_a3
Всё то же, что и для "Кубических" четвёрок, видимо, можно сказать и для Пифагоровых Четвёрок , https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_quadruple-мы это видим, что называется, "на глаз", но , может, мы ошибаемся и кто-то сделает опровержение или строгое доказательство? (Хотя бы применяя , как образец доказательство для "Кубических" Четвёрок.)
С учётом сказанного выше, легко получить формулу для генерации новых Пифагоровых Троек: $p=2(ct_3-at_1-bt_2)/(t_1^2+t_2^2-t_3^2)$, $(1)$.
С одной стороны, мы имеем следующие Пифагоровы Тройки в числовой системе $10$ с совпадающими младшими цифрами- соответствующие цифры выделены жирным шрифтом (извинения, что они не показаны в math):
5, 12, 13;
15, 112, 113;
165, 52, 173;
и т.д., до бесконечности.
С другой стороны, мы имеем в числовой системе 16 сгенерированные Пифагоровы Тройки:
5, C, D, где$ C_{16}=12_{10}$, $D_{16}=13_{10}$;
15, DC, DD, или $21, 220, 221$ в числовой системе $10$;
25, 2AC, 2AD, или $37, 684, 685$ в числовой системе $10$;
и т.д., до бесконечности.
Очевидно, что возможны случаи, когда одна и та же Пифагорова Тройка может быть получена из двух различных Пифагоровых Троек.
Например, Тройка $21, 220, 221$ может быть получена из Троек $3, 4, 5$ и $5, 12, 13$, когда $p=18$ и $p=16$, соответственно.
Очевидно , что случаи $t_1=t_2=t_3=1$ и $t_1=t_2=t_3=N$, где $N$ любое натуральное число, невозможны, если мы пока ещё работаем при положительных $ p$. Эти утверждения легко доказуемы, если применить в формуле $(1)$, выше, формулу Евклида и мы получим $p=4n^2-4mn$, что при $m>n$ даёт отрицательные значения p, что есть нонсенс для нашего случая при $t_1=t_2=t_3=1$. Аналогичные результаты будут получены при $t_1=t_2=t_3=N$.
Вот, весь этот текст и выражает суть вопроса, поднятого в данной ветке-свойство это Пифагоровых троек или не свойство? Если свойство, то новое оно или "хорошо забытое старое"? Или и не забытое вовсе? Или, и не свойство, вовсе?
Для подкрепления правомерности вопроса приводим доказательство невозможности вышеописанного свойства в случае "Кубических" Четвёрок.

Теорема: Не существует «кубической» четверки с числами $x=pt_1+a$, $y=pt_2+b$, $z=pt_3+c$, $u=pt_4+d $ ни в одной числовой системе счисления с основанием $p>0$, если существует «кубическая» четверка $a, b, c, d $ в уравнении $a^3+b^3+c^3=d^3$, где $p$основание системы счисления, числа $a, b, c, d$ являются коэффициентами при $p^0$ в $p$-адических представлениях чисел $x, y, z, u $ и $t_i $> или равно 1, целые числа.
Доказательство ( с любезного дозволения читателей, мы приводим его на английском языке-потому что оно у нас есть на этом языке и не хотелось бы тратить силы на перевод туды-сюды, а вы и так поймёте, ведь, не так ли?):
1. Let's prove the theorem by contradiction and let we have $a^3+b^3+c^3-d^3=0 \mod p$ , then there is equation $x^3+y^3+z^3=u^3$.
2. We have $x^3=(pt_1+a)^3=p^3t_1^3+3p^2t_1^2a+3pt_1a^2+a^3$,
3. We have $y^3=(pt_2+b)^3=p^3t_2^3+3p^2t_2^2b+3pt_2b^2+b^3$,
4. We have $z^3=(pt_3+c)^3=p^3t_3^3+3p^2t_3^2c+3pt_3c^2+c^3$,
5. We have $u^3=(pt_4+d)^3=p^3t_4^3+3p^2t_4^2d+3pt_4d^2+d^3$.
6. Simplifying, we get an equation: $p^3(t_1^3+t_2^3+t_3^3)+3p^2(at_1^2+bt_2^2+ct_3^2)+3p(a^2t_1+b^2t_2+c^2t_3)=0 \mod t_4$ and then:
7. $p^2(t_1^3+t_2^3+t_3^3)+3p(at_1^2+bt_2^2+ct_3^2)+3(a^2t_1+b^2t_2+c^2t_3)=0$.
8. The resulting equation cannot give positive integer solutions, $|p|$. This contradicts the statement in p.1 and this proves the Theorem.
Q.E.D.
Нам было указано также, что теорема Декарта, https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem , доказывает более общий случай.
Так же в этой связи , возможно, уместно будет упомянуть и это: https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое ли и свойство ли это Пифагоровых Троек или пустышка?
Сообщение10.06.2025, 15:00 


26/01/24
112
За 2 месяца ни один эксперт не ответил на вопрос. Мы заранее знаем, что указанное свойство не существует для гипотетических Троек Ферма. Но, попытаемся это доказать почти элементарно для для случая $n=3$.
Лемма: Пусть взаимно простые целые x,y,z удовлетворяют уравнению ВТФ , при нечётном $n>2$, и a,b,c являются остатками mod p от x,y,z соответственно. Тогда для каждого нечетного целого числа m в области [3,2n-3] выполнено $a^{m}+b^{m}=c^{m} (\mod p)$.
Предварительные замечания:
1. В доказательстве Леммы ниже обозначения $a,b,c$ соответствуют остаткам по модулю $p$ (первым цифрам в младших порядках справа) для чисел $x$, $y$, $z$. Тогда, можно использовать обыкновенные равенства-без обозначения сравнений по модулю $p$.
2. То же самое-для чисел $х^{n}, у^{n}, z^{n} $.
3. То же самое-для $a^{k}, b^{k}, c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных $p$, и которые являются порядками элемента/ов $a$$b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.
4. Доказательство считается выполненным, если получены уравнения: $a^{n}+b^{n}=c^{n}(\mod p)$, (1), $a^{n-k}+b^{n-k}=c^{n-k}(\mod p)$, (2), $a^{n+k}+b^{n+k}=c^{n+k}(\mod p)$, (3).
5. Аббревиатура "с/с" означает "система счисления".
Доказательство:
1. Если $x$ и $y$ являются нечётными числами, тогда $a=b$ в кольце $Z_{2}$;
(Эквивалентная формулировка: В любой с/с $a^{k}=b^{k}$, в соответствии с МТФ. Если использовать эту формулировку, тогда следующий пункт 2 может быть пропущен.)
2. Возведение в степень $k$ обоих чяастей уравнения в п. 1 даёт уравнение $a^{k}=b^{k}$.
3. Вычитание из левой части уравнения в п.2 правой части и возведение во вторую степень даёт уравнение $(a^{k}-b^{k})^{2}=0$.
4. Уравнение из п.3 переписано следующим образом: $a^{2\cdot k}-2\cdot a^{k}\cdot b^{k}+b^{2\cdot k}=0$.
5. Уравнение из п. 4 переписано так: $2\cdot a^{k}\cdot b^{k}=a^{2\cdot k}+b^{2\cdot k}$.
6. Уравнение из п. 5 переписано так: $2=(a^{2\cdot k}+b^{2\cdot k})/(a^{k}\cdot b^{k})$.
7. Уравнение из п. 6 переписано так: $2=(a/b)^{k}+(b/a)^{k^}$.
8. Уравнение из п. 7 переписано так: $2=b^{-k}\cdot a^{k}+a^{-k}\cdot b^{k}$.
9. Умножение обоих частей уравнения в п. 7 на $a^{n}\cdot b^{n}$ позволяет получить уравнение $2\cdot a^{n}\cdot b^{n}=b^{n-k}\cdot a^{n+k}+a^{n-k}\cdot b^{n+k}$.
10. Сумма $a^{2\cdot n}+b^{2\cdot n}$ прибавлена слева и справа уравнения из п. 9 и получено следующее уравнение: $a^{2\cdot n}+2\cdot a^{n}\cdot b^{n}+b^{2\cdot n}=a^{2\cdot n}+b^{n-k}\cdot a^{n+k}+a^{n-k}\cdot b^{n+k}+b^{2\cdot n}$.
11. Упрощение уравнения из п. 10 даёт следующее уравнение: $(a^{n}+b^{n})^{2}=(a^{n-k}+b^{n-k})(a^{n+k}+b^{n+k})$.
12. Левая часть уравнения п. 11 есть уравнение (1) в квадрате, правая часть уравнения g/ 11 есть произведение уравнений (2) и (3), что доказывает Лемму.
Q.E.D.
Полученное доказательство Леммы означает, что существует бесконечное количество гипотетических "Троек Ферма", которые имеют остатки $a$, $b$, $c$ по модулю $p$- цифры в младшей позиции.

Доказательство невозможности иметь одинаковые a, b, c в разных с/с для гипотететических "Троек Ферма" для случая $n=3$.
1. Пусть $x=p\cdot t_{1}+a$, $y=p\cdot t_{2}+b$, $ z=p\cdot t_{3}+c$ являются гипотетическими "Тройками Ферма", где $p$-основание с/с, $t_{i}$-часть числа, которая получается при делении на $p$ соответствующего числа, у которого вычтен соответствцующий остаток по модулю $p$.
2. $x^{3}=(p\cdot t_{1}+a)^{3}=p^{3}\cdot t_{1}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{1}^{2}\cdot a+ 3\cdot p\cdot t_{1}\cdot a^{2}+a^{3}$; $y^{3}=(p\cdot t_{2}+b)^{3}=p^{3}\cdot t_{2}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{2}^{2}\cdot b+ 3\cdot p\cdot t_{2}\cdot b^{2}+b^{3}$; $z^{3}=(p\cdot t_{3}+c)^{3}=p^{3}\cdot t_{3}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{3}^{2}\cdot c+ 3\cdot p\cdot t_{3}\cdot c^{2}+c^{3}$.
3. Сложение и вычитание соответствующиих уравнений из п.2 в соответствии с уравнением ВТФ и упрощение путём вынесения $p^{3}$, $p^{2}$ и $p$ за скобки в необходимых местах даёт следующее уравнение: $p^{3}\cdot (t_{1}^{3}+t_{2}^{3}-t_{3}^{3})+3\cdot p^{2}\cdot (t_{1}^{2}\cdot a+t_{2}^{2}\cdot b-t_{3}^{2}\cdot c)+3\cdot p\cdot (t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}-t_{3}\cdot c^{2})=0$.
4. Сокращение на $p$ обоих частей уравнения из п.2 позволяет получить следующее уравнение: $p^{2}\cdot (t_{1}^{3}+t_{2}^{3}-t_{3}^{3})+3\cdot p\cdot (t_{1}^{2}\cdot a+t_{2}^{2}\cdot b-t_{3}^{2}\cdot c)+3\cdot (t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}-t_{3}\cdot c^{2})=0$.
5. Уравнение из п. 4 может быть упрощённо записано так: $A\cdot p^{2}+B\cdot p+C=0$, где A, B, C определена в уравнение п. 4.
6. Чтобы иметь хотя бы один позитивный корень, $p$, необходимо иметь дискриминант , $D$, для уравнений в п.п. 4 и 5 выше $>0$, т.е. $D=B^{2}-4\cdot A\cdot C>0$.
7. Чтобы иметь дискриминант больше 0, $D >0$, необходимо иметь $B^{2}>4\cdot A\cdot C$.
8. Поскольку случаи $C>0$ и $C=0$ неприемлемы, чтобы иметь целые корни, p, рассмотрим сразу возможность существования случая $C<0$. Тогда $ t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}<t_{3}\cdot c^{2}$, откуда следует, что $p\cdot t_{1}\cdot a^{2}+p\cdot t_{2}\cdot b^{2}<p\cdot t_{3}\cdot c^{2}$, откуда следует, что $(x-a)\cdot a^{2}+(y-b)\cdot b^{2}<(z-c)\cdot c^{2}$.
9. Раскрыв скобки в последнем неравенстве п. 8, и сократив $a^{3}$, $b^{3}$, $c^{3}$ согласно условию Леммы $a^{3}+ b^{3}=c^{3}\mod p$, получено неравенство $ x\cdot a^{2}+y\cdot b^{2}<z\cdot c^{2}$, которое безальтернативно влечёт вывод , что $x=t_{1}=p\cdot t_{1}$, $y=t_{2}=p\cdot t_{2}$, $z=t_{3}=p\cdot t_{3}$, если сравнить с первым уравнением в п. 8 выше.
10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9: $t_{3}$ не может быть меньше суммы$ t_{1}+t_{2}$, что сразу обеспечит аргументауией данное доказательство. И, тогда сразу от п. 7 переходим к данному п. 10 и далее-до конца доказательства.
11. Вывод в п.9 противоречит условиям Леммы и начальным условиям в п. 1 настоящего доказательства, что говорит в пользу того, что не существует каких-то значений $p$, которые позволяли бы повторяться гипотетическим "Тройкам Ферма" с одними и теми же остатками $\mod p$/цифрами в младшей позиции при значении степени $n=3$, как это характерно для Пифагоровых Троек.
12. Пункты 8-11 подразумевают, что не существует вообще гипотетических "Троек Ферма" при степени $n=3$.
Q.E.D.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое ли и свойство ли это Пифагоровых Троек или пустышка?
Сообщение10.06.2025, 16:23 


26/01/24
112
[quote="transcendent в [url=http://dxdy.ru/post1689804.html#p1689804]
3. То же самое-для $a^{k}, b^{k}, c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных p, и которые являются порядками элемента/ов $a$$b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.
.
.
.
10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9: $t_{3}$ не может быть меньше суммы $ t_{1}+t_{2}$, что сразу обеспечит аргументацией данное доказательство. [/b][/quote]
Правильно так:
1) 3. То же самое-для $a^{k}, b^{k}, c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных p-1, и которые являются порядками элемента/ов $a$$b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.
.
.
.
2) 10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9: $t_{3}$ не может быть больше суммы $ t_{1}+t_{2}$, что сразу обеспечит аргументацией данное доказательство. [/b][/quote]

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group