Гантель на направляющей

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1688119 писал(а):

Подумалось, что динамика гантельки не должна отличаться от динамики колеса с тяжелым ободом и легкими спицами.

Был в отъезде, сразу откликнуться не мог. Есть такое правдоподобное рассуждение. Пусть гантель намертво прикреплена к обручу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси вращения. Пусть гантель наклонена к плоскости обруча под некоторым углом. Тогда на гантель будет действовать вращающий момент, поскольку на ближний и дальний от оси вращения шарики действуют разные силы. Для диска это не так.

Теперь, если отпустить гантель, позволив ей вращаться вокруг обруча, то она начнет колебаться вокруг горизонтального положения. Возникает такая идея. Пусть наша кривая представляет собой кусок спирали, гладко переходящей в наклонную прямую. Есть надежда, что можно подобрать начальное положение гантели и форму кривого участка так, что при переходе на прямой участок гантель будет иметь ненулевую скорость вращения относительно кривой. Размышления автомобильные, математику пока не наводил. Может и вру.

[wrest]

amon в сообщении #1688387 писал(а):

Пусть гантель наклонена к плоскости обруча под некоторым углом. Тогда на гантель будет действовать вращающий момент, поскольку на ближний и дальний от оси вращения шарики действуют разные силы.

То есть, если обруч остановить, гантель продолжит вращаться (в плоскости проходящей через ось обруча и гантелю)?

[drzewo]

amon
там в третьем посте выписан лагранжиан системы, если что:)

[amon]

drzewo в сообщении #1688433 писал(а):

в третьем посте выписан лагранжиан системы, если что:)

Я добрался до бумаги и компьютера. Вроде, идея с раскруткой работает. Рассмотрим что-нибудь решаемое. Пусть гантелька где-то разогналась, и выскочила на участок плоской кривой, представляющий собой часть окружности, переходящей в прямую. Пусть окружность лежит в горизонтальной плоскости, чтобы не возиться с силой тяжести. Кроме того, забудем про удар в сопряжении прямой с окружностью (тут не уверен, может это надо аккуратнее). Тогда, введя угол $\varphi$ вдоль окружности и угол $\theta$ поворота гантельки в плоскости, перпендикулярной плоскости окружности, получим лагранжиан, он же энергия, для задачи движения гантельки по окружности.

$$E=L=l^2\dot{\theta}^2+(R^2+l^2\cos^2\theta)\dot{\varphi}^2$$

Эта штука имеет пару интегралов движения и интегрируется. Первый - написанная энергия, второй - импульс

$$P_\varphi=2(R^2+l^2\cos^2\theta)\dot{\varphi}$$

Если Mathematica не врет, задача интегрируется в эллиптических функциях. Ответ $t(\theta)$ не привожу, он малоинформативен (по крайней мере для меня). Нарисую лучше картинку для

$$\begin{align} R&=l=1\\ \theta(0)&=\frac{\pi}{4}\\ \dot\theta(0)&=0\\ \varphi(0)&=0\\ \dot\varphi(0)&=1\\ \end{align}$$

Если свернуть голову набок, то можно увидеть зависимость угла поворота гантели от времени ;)

Вложение:

dumbbell.png [ 6 Кб | Просмотров: 572 ]

То есть, если оставить четверть окружности, и продолжить ее дальше прямой, то гантелька поедет по этой прямой вращаясь.
Пока так.

[drzewo]

Достаточно просто $\varphi(t)=const$ (у меня $\varphi$ -- это угол поворота гантели) в уравнения движения подставить и убедиться, что если вообще гантель скользит вдоль кривой, то такое решение возможно только когда гантель все время перпендикулярна плоскости кривой или лежит в этой плоскости. Я тут тоже считаю кривую плоской и сил тяжести нет.
Это тривиальный вопрос, достаточно просто уравнения движения написать. Мне было бы интересно какое-то более содержательное исследование динамики, но тут я пока ничего не вижу.

[amon]

drzewo в сообщении #1688448 писал(а):

такое решение возможно только когда гантель все время перпендикулярна плоскости кривой или лежит в этой плоскости.

Я и пытался проверить свои пальцевые рассуждения про то, что если гантель лежит в плоскости кривой, то равновесие устойчиво, а если образует с плоскостью некий угол, то колеблется относительно этого положения. Положение перпендикулярное плоскости неустойчиво. Это, действительно, тривиальная вещь, но она, IMHO, отвечает на вопрос можно ли закрутить гантель положительно. Что касается общего исследования динамики, то, боюсь, мне тут квалификации не хватит. Мое $\theta$ это Ваше $\varphi,$ а мое $\varphi,$ как я понимаю, связано с $s$ как $s= R \varphi.$

[drzewo]

про устойчивость -- это хорошее замечание

[drzewo]

amon
Вот, кстати. Кинетическая энергия, которая выписана там в начале темы, задает риманову метрику на цилиндре $\mathbb{R}\times\mathbb{T}=\{(s,\varphi)\}$. Можно попытаться написать условия на кривизну и кручение кривой, при которых цилиндр оказался бы поверхностью отрицательной кривизны (если такое вообще возможно). Или нулевой кривизны. Это дало бы содержательную информацию о динамике гантели в отсутствие силы тяжести.

[amon]

drzewo в сообщении #1688841 писал(а):

Можно попытаться написать условия на кривизну и кручение кривой, при которых цилиндр оказался бы поверхностью отрицательной кривизны (если такое вообще возможно). Или нулевой кривизны.

Тут мне подумать надо, да и посчитать. Может, как чуть освобожусь от текущей суеты, чего надумаю.