Потенциальные ямы

[drzewo]

Рассмотрим движение частицы вдоль прямой $x$ под действием силы с потенциалом $V=V(x)$:

$$\ddot x=-V'(x).$$

Функция $V$ является многочленом 4 степени и имеет два минимума.
Предположим, что на уровне энергии $h,$

$$\frac{1}{2}\dot x^2+V(x)=h$$

система может совершать периодические движения в любой из двух потенциальных ям. Доказать, что эти движения имеют один и тот же период.

[EUgeneUS]

Задача сводится к доказательству:

$$\int\limits_{x_1}^{x_2} \frac{d x}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}} = \int\limits_{x_3}^{x_4} \frac{d x}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}}$$

для любых $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$

Факт забавный.
Пробовал подобрать замену переменных, чтобы свети одно к другому. Не получилось
Можно ещё условие наложить $x_1 + x_2 +x_3 +x_4 =0$, если чему-то поможет.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1687743 писал(а):

Задача сводится к доказательству:

$$\int\limits_{x_1}^{x_2} \frac{d x}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}} = \int\limits_{x_3}^{x_4} \frac{d x}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}}$$

для любых $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$

Да, именно об этом и речь, и завершение рассуждений почти устное:)

[Edward_Tur]

I. Если $x_1+x_4=x_2+x_3$, то замена $y=x_1+x_4-x$.
II. Если $x_1x_4=x_2x_3$, то замена $y=\frac{x_1x_4}{x}$.
Иначе находим такое $a$, что $(x_1+a)(x_4+a)=(x_2+a)(x_3+a)$ и замена $y=x+a$ приводит к II.

[drzewo]

Я выкладки не проверял. Но забавно, если так тоже можно.