Задачи из "Введения в коммутативную алгебру" Атьи

[Without Name]

Пусть $x$ - нильпотент в кольце $A$. Покажите, что $1+x$ - единица. Выведите отсюда, что сумма нильпотента и единицы является единицей.

Слово "единица" здесь употребляется в двух смыслах - единица кольца (identity) и единица (unit) - обратимый элемент.

Доказательство. Пусть $x$ - нильпотент, тогда $x^n = 0$ для некоторого $n \in Z$. Рассмотрим два случая, когда $n = 2$ и когда $n > 2$.

Случай $n = 2$: рассмотрим произведение $(1 + x)(1 - x) = 1 - x^2$ (свернули по формуле разности квадратов). Так как по предположению $x^2 = 0$, то $(1+x)(1-x) = 1$ и элемент $1-x$ является обратным для $1 + x$.

У меня вопрос: как доказать утверждение для случая $n > 2$?

[dgwuqtj]

Вспомните разложение в ряд для $\frac 1 {1 + x}$ из курса матанализа. Или возьмите кольцо $\mathbb Z[x] / (x^n)$ и ищите в нём обратный методом неопределённых коэффициентов.

[SomePupil]

Without Name в сообщении #1687729 писал(а):

У меня вопрос: как доказать утверждение для случая $n > 2$?

Не знаю как для произвольного $n,$ но для случая $n=3\colon$
$(1+x)(1-x+x^2)=1+x^3=1.$

[Without Name]

Примерно понял идею. $\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$. Этот ряд конечен, потому что начиная со степени $x^n$ все члены будут нулевыми, т.к. $x$ - нильпотент. И искомый обратный элемент записывается как сумма $\sum\limits_{i=0}^{n-1}(-1)^i x^i$