Задача про гомоморфизм и идеалы

[Without Name]

Есть такое утверждение. Пусть $A$ - ненулевое кольцо. Следующие утверждения равносильны:
1) $A$ - поле.
2) В $A$ нет идеалов кроме 0 и $(1)$.
3) Любой гомоморфизм кольца $A$ в ненулевое кольцо инъективен.

Со следствиями (1) => (2) и (2) => (3) все понятно. Есть вопросы по доказательству того, почему из (3) следует (1). Вот доказательство этого следствия:

Пусть $x$ - элемент кольца $A$, не являющийся единицей. Тогда $(x) \neq (1)$, так что кольцо $B = A/(x)$ ненулевое. Пусть $\varphi: A \rightarrow B$ - естественный гомоморфизм $A$ на $B$ с ядром $(x)$. По предположению $\varphi$ инъективен. Поэтому $(x) = 0$ и, значит, $x=0$.

Вот что мне непонятно:
1)Почему кольцо $B = A/(x)$ ненулевое? В каких случаях оно будет нулевым?
2) Почему у этого естественного гомоморфизма ядро $(x)$?
3) Как из утверждения, что гомоморфизм инъективен, пришли к выводу, что $(x) = 0$?

[mihaild]

Without Name в сообщении #1686960 писал(а):

Почему кольцо $B = A/(x)$ ненулевое?

Потому что $1 \neq xy$, соответствено $\varphi(1) \neq 0$.

Without Name в сообщении #1686960 писал(а):

Почему у этого естественного гомоморфизма ядро $(x)$?

Определение естественного гомоморфизма напишите, из него это сразу получается.

Without Name в сообщении #1686960 писал(а):

Как из утверждения, что гомоморфизм инъективен, пришли к выводу, что $(x) = 0$?

Потому что $\varphi(x) = \varphi(0)$.

Доказываемое утверждение, впрочем, неверно. Мы получим только что все ненулевые элементы обратимы, коммутативности не получим.

[Without Name]

Нашел, что естественным гомоморфизмом называется гомоморфизм группы (кольца) на факторгруппу (факторкольцо). Ядро этого гомоморфизма - прообраз нуля.

-- 22.05.2025, 09:14 --

Цитата:

Мы получим только что все ненулевые элементы обратимы, коммутативности не получим.

Это теореме из М. Атьи "Введение в коммутативную алгебру". Видимо, коммутативность здесь подразумевается всегда.

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

Without Name в сообщении #1686974 писал(а):

Видимо, коммутативность здесь подразумевается всегда.

А ещё подразумевается, что все кольца с единицей.