Задача из "Сходимость рядов" (Вероятность)

[ihq.pl]

Задача. Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ - последовательность произвольных случайных величин такая, что $\sum\mathsf{E}|\xi_n|<\infty$. Д-ть, что $\sum|\xi_n|<\infty$ с вероятностью единица.

Решение. Последовательность частичных сумм $S_n = \mathsf{E}|\xi_1| +...+\mathsf{E}|\xi_n|$ сходится к конечному пределу, т.е. при $n\to\infty$

$$\sup_{k\geqslant n}(S_{n+k}-S_n) = \sup_{k\geqslant n}\sum_{j=n+1}^{n+k} \mathsf{E}|\xi_j| \to 0.\eqno{(1)}$$

Выражение

$$\sup_{k\geqslant n}\sum_{j=n+1}^{n+k} |\xi_j| \to 0\quad \text{(п.н.)}$$

получается из

$$ \sup_{k\geqslant n}\sum_{j=n+1}^{n+k} \mathsf{E}|\xi_j| = \mathsf{E}\sup_{k\geqslant n}\sum_{j=n+1}^{n+k} |\xi_j|,\eqno{(2)}$$

а $(2)$ в свою очередь следует из того, что ряд $\sum \mathsf{E}|\xi_n|I_A<\infty$ для любого $A\in\sigma(\xi_1,\xi_2,...)$.

Это верно?

[mihaild]

Непонятно, как Вы получили (2), о каких индикаторах речь?
ИМХО тут проще сослаться на теорему о монотонной сходимости.

И переход от (2) к

ihq.pl в сообщении #1686672 писал(а):

$\sup_{k\geqslant n}\sum_{j=n+1}^{n+k} |\xi_j| \to 0\quad \text{(п.н.)}$

тоже надо как-то обосновать.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1686676 писал(а):

тут проще сослаться на теорему о монотонной сходимости.

Теорема о монотонной сходимости интеграла Лебега? Но там ведь из сходимости $\xi_n\to\xi$ следует сходимость $\mathsf{E}\xi_n\to\mathsf{E}\xi$, а не наоборот.

mihaild в сообщении #1686676 писал(а):

Непонятно, как Вы получили (2)

Формула $(2)$ скорее всего не верна. Захотелось, чтобы выполнялась импликация

$$\sum_{j=n+1}^{n+m} \mathsf{E} |\xi_j| \geqslant \sum_{j=n+1}^{n+k}\mathsf{E} |\xi_j| \Rightarrow \sum_{j=n+1}^{n+m} |\xi_j| \geqslant \sum_{j=n+1}^{n+k}|\xi_j|\;\; \text{(п.н.)}$$

и она бы выполнялась, если бы

$$\sum_{j=n+1}^{n+m} \mathsf{E}[I_A\cdot|\xi _j|] \geqslant \sum_{j=n+1}^{n+k}\mathsf{E}[I_A\cdot|\xi_j|]\quad \forall A\in \sigma(\xi_1,\xi_2,...)$$

но это не так.

[mihaild]

Супремум равен пределу (потому что последовательность не убывает), так что вопрос в том, верно ли что (индексируя для простоты с единицы и занося слева конечную сумму под знак мат. ожидания) $\lim\limits_{N \to \infty} \mathsf{E} \sum\limits_{i=1}^N |\xi_i| = \mathsf{E} \lim\limits_{N\to\infty} \sum\limits_{i=1}^N |\xi_i|$. Так как предел слева конечен (из условия), то это ровно теорема о монотонной сходимости.

ihq.pl в сообщении #1686689 писал(а):

$$\sum_{j=n+1}^{n+m} \mathsf{E} |\xi_j| \geqslant \sum_{j=n+1}^{n+k}\mathsf{E} |\xi_j| \Rightarrow \sum_{j=n+1}^{n+m} |\xi_j| \geqslant \sum_{j=n+1}^{n+k}|\xi_j|\;\; \text{(п.н.)}$$

Это что-то странное. Если $m \geq k$, то заключение верно автоматически, если нет - то и посылка верна только по большим праздникам.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1686692 писал(а):

$\lim\limits_{N \to \infty} \mathsf{E} \sum\limits_{i=1}^N |\xi_i| = \mathsf{E} \lim\limits_{N\to\infty} \sum\limits_{i=1}^N |\xi_i|$. Так как предел слева конечен (из условия), то это ровно теорема о монотонной сходимости

Теорема о монотонной сходимости - первое, что пришло в голову. Засомневался, потому что подумал, что равенство $\lim\limits_{N \to \infty} \mathsf{E} \sum\limits_{i=1}^N |\xi_i| = \mathsf{E} \lim\limits_{N\to\infty} \sum\limits_{i=1}^N |\xi_i|$ имеет смысл, если заранее известно, что $\lim\limits_{N\to\infty} \sum\limits_{i=1}^N |\xi_i|<\infty$. Теорема: если $\xi_n\geqslant 0$ и $\xi_n\uparrow \xi$, то $\mathsf{E}\xi_n\uparrow\mathsf{E}\xi$.

-- 20.05.2025, 21:43 --

mihaild в сообщении #1686692 писал(а):

Если $m \geq k$, то заключение верно автоматически, если нет - то и посылка верна только по большим праздникам.

Точно)

-- 20.05.2025, 22:25 --

Следствие к теореме о монотонной сходимости

Как я понял, здесь $\sum\limits_{n=1}^\infty \eta_n$ - случайная величина, которая может принимать и бесконечные значения на множестве положительной меры (тогда и $\sum\mathsf{E}\eta_n = \infty$).