2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лемма Гаусса
Сообщение05.05.2025, 21:49 


21/12/16
1631
Дано риманово многообразие $M$ с метрикой $g_{ij}(x)$ в локальных координатах $x=(x^1,\ldots,x^m)$.
Зафиксируем точку $\hat x\in M$. Рассмотрим сферу
$$S=\{v=(v^1,\ldots,v^m)\in T_{\hat x}M\mid |v|^2=g_{ij}(\hat x)v^iv^j=1\}.$$
Каждому вектору $v\in S$ поставим в соответствие геодезическую $x_v(t),\quad x_v(0)=\hat x,\quad x_v(0)=v$. Причем будем считать параметр $t$ на геодезической натуральным: $|\dot x_v(t)|^2=g_{ij}(x(t))\dot x^i(t)\dot x^j(t)=1$.
Выберем настолько малое $\tau>0$, что никакие две разные геодезические из семейства $\Gamma=\{x_v\}_{v\in S}$ не пересекаются при $t\in(0,\tau]$.
Введем многообразие $\Sigma=\{x_v(\tau)\in M\mid v\in S\},\quad \dim \Sigma=m-1$.

Доказать, что:
Вектор $\dot x_v(\tau)\in T_{x_v(\tau)}M$ перпендикулярен многообразию $\Sigma$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гаусса
Сообщение13.05.2025, 19:37 


23/02/12
3457
Если учесть подсказку - Лемма Гаусса, то, обладая знаниями в римановой геометрии, задача не очень сложная. Однако, никто из участников форума, по разным причинам, не ответил.
Поэтому я решил предложить эту задачу ИИ и вот, что он ответил:

Лемма Гаусса (формулировка):
В римановом многообразии $M$ с экспоненциальным отображением $\exp_{\hat x}: T_{\hat x}M \to M$ радиальные геодезические, исходящие из точки $\hat x$, ортогональны сферам малого радиуса $\Sigma = \exp_{\hat x}(\tau S)$, где $S = \{v \in T_{\hat x}M \mid |v| = 1\}$.
Более формально:
Для любого вектора $v \in S$ и касательного вектора $w \in T_v S$ к единичной сфере в $T_{\hat x}M$, выполняется
$g\left( d\exp_{\hat x}(\tau v)[\tau w], \, \dot x_v(\tau) \right) = 0,$
где $\dot x_v(\tau)$ — скорость геодезической $x_v(t)$ в точке $x_v(\tau)$, а $d\exp_{\hat x}$ — дифференциал экспоненциального отображения.

Решение задачи с использованием леммы Гаусса
Задача: Доказать, что вектор $\dot x_v(\tau)$ перпендикулярен многообразию $\Sigma = \{x_v(\tau) \mid v \in S\}$.
Шаг 1. Интерпретация $\Sigma$ через экспоненциальное отображение
Многообразие $\Sigma$ можно записать как:
$\Sigma = \exp_{\hat x}(\tau S),$
где $S$ — единичная сфера в касательном пространстве $T_{\hat x}M$. Это образ сферы $S$ под действием экспоненциального отображения, растянутой на радиус $\tau$.
Шаг 2. Касательные векторы к $\Sigma$
Любой касательный вектор к $\Sigma$ в точке $x_v(\tau)$ порождается вариацией начального направления $v$ в $T_{\hat x}M$. Пусть $w \in T_v S$ — вектор, касательный к единичной сфере $S$ в точке $v$. Тогда соответствующий касательный вектор к $\Sigma$ имеет вид:
$W = d\exp_{\hat x}(\tau v)[\tau w].$
Это следует из дифференциала экспоненциального отображения, который переводит вариацию $\tau w$ в $T_{\hat x}M$ в касательный вектор к $\Sigma$.
Шаг 3. Применение леммы Гаусса
Согласно лемме Гаусса, для любого $w \in T_v S$ выполняется:
$g\left( W, \, \dot x_v(\tau) \right) = 0.$
Это означает, что вектор скорости геодезической $\dot x_v(\tau)$ ортогонален **всем** касательным векторам к $\Sigma$, порожденным вариациями $w \in T_v S$.
Шаг 4. Заключение
Так как все касательные векторы к $\Sigma$ в точке $x_v(\tau)$ имеют вид $W = d\exp_{\hat x}(\tau v)[\tau w]$, а лемма Гаусса гарантирует их ортогональность $\dot x_v(\tau)$, то:
$\dot x_v(\tau) \perp T_{x_v(\tau)} \Sigma.$
Следовательно, $\dot x_v(\tau)$ перпендикулярен многообразию $\Sigma$.
Почему лемма Гаусса работает?
1. Геометрическая интуиция:
Экспоненциальное отображение "разворачивает" геодезические из касательного пространства. Лемма Гаусса утверждает, что это разворачивание сохраняет ортогональность между радиальными направлениями (геодезическими) и сферическими направлениями (вариациями $w$).
2. Связь с метрикой:
В нормальных координатах, построенных через $\exp_{\hat x}$, метрика в точке $x_v(\tau)$ имеет вид:
$   ds^2 = dr^2 + r^2 h_{ij}(r, \theta) d\theta^i d\theta^j,   $
где $r = \tau$, а $\theta$ — координаты на сфере $S$. Отсутствие смешанных членов $dr \, d\theta^i$ (благодаря лемме Гаусса) означает, что радиальное направление $\partial_r = \dot x_v(\tau)$ ортогонально сферическим направлениям $\partial_{\theta^i}$.
Итог
Использование леммы Гаусса позволяет сразу заключить, что $\dot x_v(\tau)$ ортогонален $\Sigma$, без явного анализа полей Якоби. Это демонстрирует мощь леммы в римановой геометрии — она связывает глобальные геометрические свойства (ортогональность) с локальным поведением экспоненциального отображения.

Интересно, как оценит этот ответ автор темы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма Гаусса
Сообщение13.05.2025, 19:58 


21/12/16
1631
vicvolf
Вы, по-моему, злоупотребляете ИИ, а любые излишества вредят здоровью.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group