Если учесть подсказку - Лемма Гаусса, то, обладая знаниями в римановой геометрии, задача не очень сложная. Однако, никто из участников форума, по разным причинам, не ответил.
Поэтому я решил предложить эту задачу ИИ и вот, что он ответил:
Лемма Гаусса (формулировка):
В римановом многообразии

с экспоненциальным отображением

радиальные геодезические, исходящие из точки

, ортогональны сферам малого радиуса

, где

.
Более формально:
Для любого вектора

и касательного вектора

к единичной сфере в

, выполняется
где

— скорость геодезической

в точке

, а

— дифференциал экспоненциального отображения.
Решение задачи с использованием леммы Гаусса
Задача: Доказать, что вектор

перпендикулярен многообразию

.
Шаг 1. Интерпретация

через экспоненциальное отображение
Многообразие

можно записать как:
где

— единичная сфера в касательном пространстве

. Это образ сферы

под действием экспоненциального отображения, растянутой на радиус

.
Шаг 2. Касательные векторы к

Любой касательный вектор к

в точке

порождается вариацией начального направления

в

. Пусть

— вектор, касательный к единичной сфере

в точке

. Тогда соответствующий касательный вектор к

имеет вид:
Это следует из дифференциала экспоненциального отображения, который переводит вариацию

в

в касательный вектор к

.
Шаг 3. Применение леммы Гаусса
Согласно лемме Гаусса, для любого

выполняется:
Это означает, что вектор скорости геодезической

ортогонален **всем** касательным векторам к

, порожденным вариациями

.
Шаг 4. Заключение
Так как все касательные векторы к

в точке

имеют вид
![$W = d\exp_{\hat x}(\tau v)[\tau w]$ $W = d\exp_{\hat x}(\tau v)[\tau w]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/b/a0b55273ce5bf2df41e3a5b8c20fea6482.png)
, а лемма Гаусса гарантирует их ортогональность

, то:
Следовательно,

перпендикулярен многообразию

.
Почему лемма Гаусса работает?
1. Геометрическая интуиция:
Экспоненциальное отображение "разворачивает" геодезические из касательного пространства. Лемма Гаусса утверждает, что это разворачивание сохраняет ортогональность между радиальными направлениями (геодезическими) и сферическими направлениями (вариациями

).
2. Связь с метрикой:
В нормальных координатах, построенных через

, метрика в точке

имеет вид:
где

, а

— координаты на сфере

. Отсутствие смешанных членов

(благодаря лемме Гаусса) означает, что радиальное направление

ортогонально сферическим направлениям

.
Итог
Использование леммы Гаусса позволяет сразу заключить, что

ортогонален

, без явного анализа полей Якоби. Это демонстрирует мощь леммы в римановой геометрии — она связывает глобальные геометрические свойства (ортогональность) с локальным поведением экспоненциального отображения.
Интересно, как оценит этот ответ автор темы?