Цикличность конечных подгруп мультипликативной группы поля

[Marizza]

Помогите доказать или хотя бы дайте подсказку:

Пусть F - произвольное поле. Показать, что всякая конечная подгруппа мультипликативной группы F* поля F является циклической.

Срочно....пожалуйста....

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем фактом, что конечная абелева группа является циклической тогда и только тогда, когда ее экспонента равна ее порядку.

[Профессор Снэйп]

Классическая задача, довольно широко известная. Решение основывается на том, что никакой многочлен (с коэффициентами из произвольного поля) не может иметь корней больше, чем степень этого многочлена.

[Marizza]

Спасибо!
Я думаю док-во такое: Пусть F - произв. поле, X1...Xn - все элементы группы F* и пусть X1 - элемент наибольшего порядка d. Тогда порядок всех элементов Xi делят d и все Xi удовлетворяют уравнению X^d - 1 = 0 в F. Т.к. любой многочлен степени n от одной переменной и с коэф. из F имеет в F не более n корней, то n =< d. Но т.к. порядок элемента конечной гр. делит порядок этой гр., то получается, что d|n, следовательно, d=n, следовательно Xi - порождает F*, следовательно, F* - циклическая.

Я права?

[Brukvalub]

Marizza писал(а):

Пусть F - произв. поле, X1...Xn - все элементы группы F* и пусть X1 - элемент наибольшего порядка d. Тогда порядок всех элементов Xi делят d

А почему?

[Marizza]

т.к. порядок любого элемента группы делит наибольший порядок.

[Brukvalub]

Marizza писал(а):

т.к. порядок любого элемента группы делит наибольший порядок.

Иногда к ночи о группах такое узнаешь - страшно становится

[Marizza]

Это точно!!

[jiffy]

Marizza в сообщении #92677 писал(а):

т.к. порядок любого элемента группы делит наибольший порядок.

Я, конечно, извиняюсь, я маску на стройке нашёл, да и много воды утекло под лежачий камень, но.
S3 = <(12), (123)>
|S3| = 3! = 6; |<12>| = 2, |<123>| = 3
Но из этого наглядно видно, что порядок любого элемента группы (в данном примере, этот "любой элемент" -- это транспозиция (12), порядок этого элемента равен 2) не делит наибольший порядок (в нашем случае, наибольший порядок имеет элемент (123), порядок этого элемента равен 3).