Мы ни в чём не уверены?

[Rak so dna]

kolyanchick если вы хотите научиться решать задачи (а именно это, имхо, и есть настоящий индикатор понимания математики), то я бы посоветовал прислушаться к этому:

Anton_Peplov в сообщении #1684345 писал(а):

Но для психического здоровья полезнее относиться к ней как к грандиозной, жутко интересной, чрезвычайно полезной игре.

если же ваша цель — убедить себя в том, что вы "на самом деле" что-то глубоко понимаете, то можете перечитать посты EminentVictorians, а потом $50$ страниц дискутировать об истинном, глубоком смысле умножения вещественных чисел и в итоге всё равно ни к чему не придти.

Может так случиться, что вы таки докажете некое "парадоксальное" утверждение (типа теоремы Банаха-Тарского). Вот тогда уже будет смысл разобрать это доказательство на атомы и подискутировать об утверждениях, которые обеспечивают корректность такого доказательства.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1684392 писал(а):

Многие математические утверждения верны не потому что мы там как-то это в ZFC доказали, а просто потому что иначе быть не может.

А меня настораживает, что местами может быть и иначе. Например в ZFC могут быть одни теоремы. А если мы аксиому выбора заменим на аксиому детерминированности, то могут быть теоремы совсем противоположные. Как-то странно всё это.

-- Чт май 01, 2025 18:06:54 --

Rak so dna в сообщении #1684430 писал(а):

kolyanchick если вы хотите научиться решать задачи (а именно это, имхо, и есть настоящий индикатор понимания математики)

А если цель - понять что-то в математической логике?

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1684632 писал(а):

Как-то странно всё это.

Вот я никак не могу понять, что странного. Все знают, что бывают очень разные группы с разными свойствами. Так что странного в том, что бывают разные множества натуральных чисел, или разные юниверсумы множеств?

мат-ламер в сообщении #1684632 писал(а):

А если цель - понять что-то в математической логике?

А это и есть "научиться решать задачи".

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1684632 писал(а):

Например в ZFC могут быть одни теоремы. А если мы аксиому выбора заменим на аксиому детерминированности, то могут быть теоремы совсем противоположные. Как-то странно всё это.

Аксиомы ZFC (или другой базовой теории множеств) - это как бы то, во что мы верим. Менять такие аксиомы - это по сути менять математику. Т.е. те, кто работают в ZF+AD - они работают в другой математике (по сравнению с теми, кто находится в ZFC).

У меня мысль была немного о другом. Даже если мы возьмем тех, кто работает в ZF+AD, натуральные числа у них все равно будут коммутативны. И не столько потому что эта коммутативность выводится из их аксиом, а потому что количество реальных штук в реальных кучках на знакомых нам масштабах не меняется от того, в каком порядке эти штуки кидать в эти кучки. Натуральные числа нам нужны, чтобы моделировать эти кучки. А значит они полюбому должны быть коммутативными, независимо от того, в какой математике мы это все моделируем.

(Оффтоп)

но это в первом приближении; в теории можно придумать гипотетическую структуру, похожую на $\mathbb N$, которая коммутативна, например, на "маленьких" числах, а на больших коммутативность нарушается; и такая структура тоже могла бы быть пригодной для тех задач, которые мы сейчас решаем с помощью натуральных чисел

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1684638 писал(а):

Вот я никак не могу понять, что странного.

Объясню мои сомнения. Есть мнение что математика (по крайней мере многие её разделы), это отражение глубинных свойств природы. По крайней мере, аксиомы Цермело-Френкеля очень естественны и в них можно верить, потому как они отражают законы природы. Аксиома выбора уже не столь естественна. Но, по крайней мере, в неё можно верить, потому как она совместима с остальными аксиомами.

EminentVictorians в сообщении #1684641 писал(а):

те, кто работают в ZF+AD - они работают в другой математике (по сравнению с теми, кто находится в ZFC).

И тут вопрос, это имеет отношение к тому, что происходит в природе? Ведь никакими экспериментами мы не определим, какая из аксиом верна на самом деле. Аксиома детерминированности и сложно формулируется и её совместимость с остальными аксиомами не доказана. Поэтому у меня возникает мнение что математика, которая использует эту аксиому, она как-бы не настоящая. Это чистая игра ума. И никакого отношение к тому, что происходит в природе, это не имеет. Хотя, может это и нормально

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1684646 писал(а):

Есть мнение что математика (по крайней мере многие её разделы), это отражение глубинных свойств природы.

Не знаю как другие, но я точно такого мнения не придерживаюсь. Есть природа (или реальность, если в более широких терминах). Есть реальные явления в этой реальности. Люди изучают эти реальные явления разными способами, в том числе с помощью моделей. Модели тоже какие только не бывают (например, всякие вполне себе реально стоящие в каких-нибудь лабораториях модели каких-нибудь приборов, агрегатов и т.д.) Один из вариантов моделирования - математический. Математические модели существуют в головах людей (Ghost_of_past сказал бы, (интер)субъективно ). Ничего божественного в таких моделях нету. Это просто довольно дешевый и эффективный способ моделирования. То, что математические модели иногда оказываются настолько эффективными, что позволяют предсказывать реальные явления - в этом тоже нет ничего сверхъестественного. Если моделирование выполнено хорошо (т.е. правильно отброшены несущественные детали, сама модель богатая на следствия и т.д.), то действительно есть шанс что-то узнать о реальной вещи с помощью ручки и бумажки не выходя из за стола.

Один и тот же реальный объект можно моделировать разными математическими моделями: те же шарики в корзине можно считать хоть с помощью $\mathbb N$, хоть $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, да хоть $\mathbb C$. Так что вкладывать какой-то особо сакральный смысл в матемтические модели, имхо, странно.

мат-ламер в сообщении #1684646 писал(а):

По крайней мере, аксиомы Цермело-Френкеля очень естественны и в них можно верить, потому как они отражают законы природы.

Естественны - наверное да. Но какие законы природы они отражают? Ну может быть разве что реальные вещи можно собирать в воображаемые кучи, и думать потом про эти кучи... Но это как-то натянуто, да и относится скорее к любой теории множеств.

мат-ламер в сообщении #1684646 писал(а):

Аксиома выбора уже не столь естественна.

Я вообще в аксиому экстенсиональности перестал верить, и ничего

мат-ламер в сообщении #1684646 писал(а):

Аксиома детерминированности и сложно формулируется и её совместимость с остальными аксиомами не доказана.

Почему не доказана? Если в ZF верите, значит и в ZF+AD тоже можно верить.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1684650 писал(а):

Почему не доказана? Если в ZF верите, значит и в ZF+AD тоже можно верить.

Тут, видимо, у меня были либо устаревшие сведения, либо я что-то где-то не так прочитал. Про аксиому выбора точно доказана её совместимость с остальными аксиомами. То есть, если ZF непротиворечива, то и ZFC непротиворечива. Что в этом смысле известно про AD, я не знаю. По крайней мере, из AD следует аксиома счётного выбора. Но с аксиомой выбора AD несовместима.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1684652 писал(а):

Про аксиому выбора точно доказана её совместимость с остальными аксиомами. То есть, если ZF непротиворечива, то и ZFC непротиворечива.

С AD аналогично.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1684646 писал(а):

Есть мнение что математика (по крайней мере многие её разделы), это отражение глубинных свойств природы

Всё, что нам нужно в приложениях, это не очень большие натуральные числа. Всё остальное - просто способ более удобно с ними работать. Ну и вот из многих таких способов выбрали тот, который дает согласующиеся с наблюдениями результаты.

мат-ламер в сообщении #1684646 писал(а):

и её совместимость с остальными аксиомами не доказана

ZF+AD доказывает непротиворечивость ZFC. Соответственно доказать равнонепротиворечивость ZF+AD с ZF в самой ZF (или ZF+AD, или ZFC) нельзя (если ZF непротиворечива) - ZF+AD доказывает непротиворечивость ZF, но не собственную.

EminentVictorians в сообщении #1684653 писал(а):

С AD аналогично

Соответственно нет.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1684655 писал(а):

Соответственно нет.

Хм.. Можно этот момент уточнить? Речь ведь идет про то, что человек в ZF верит, а в ZF+AD - нет (вдруг AD "противоречивость внесет"?). Но такого же не бывает, в том смысле, что если ZF непротиворечива, то и ZF+AD тоже, т.е. никакой "дополнительной противоречивости" AD не внесет.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1684657 писал(а):

если ZF непротиворечива, то и ZF+AD тоже

Откуда такой вывод?

[dgwuqtj]

мат-ламер в сообщении #1684646 писал(а):

По крайней мере, аксиомы Цермело-Френкеля очень естественны и в них можно верить, потому как они отражают законы природы.

В "природе" (точнее, в математике XIX века) множеств типа $2^{2^{\mathbb N}}$ не встречалось. Так что если есть сомнения в непротиворечивости ZFC, можно выкинуть аксиому степени и схему преобразования. Останется ещё более естественная не более чем счётная комбинаторика, в том числе теория вычислимости. Правда, придётся что-то добавить для работы с $\mathbb R$.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1684657 писал(а):

Но такого же не бывает, в том смысле, что если ZF непротиворечива, то и ZF+AD тоже, т.е. никакой "дополнительной противоречивости" AD не внесет.

Бывает. Есть модель ZF, в которой ZF+AD противоречива, а ZF нет (т.е. в которой есть модель ZF, но нет модели ZF+AD). С ZFC такого не бывает - в любой модели ZF, в которой есть внутренняя модель ZF, есть и внутренняя модель ZFC.

dgwuqtj в сообщении #1684659 писал(а):

В "природе" (точнее, в математике XIX века) множеств типа $2^{2^{\mathbb N}}$ не встречалось.

Если мы хотим говорить о множествах функций (а в 19 веке уже хотим), то нам множества такой мощности нужны.

[dgwuqtj]

mihaild в сообщении #1684661 писал(а):

Если мы хотим говорить о множествах функций (а в 19 веке уже хотим), то нам множества такой мощности нужны.

Пространство непрерывных функций сильно меньше. Конечно, удобно взять множество всех возможных функций вообще и выделить в нём непрерывные, но я не уверен, что до Кантора о таких коллекциях вообще задумывались.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1684661 писал(а):

Бывает.

Спасибо, понял. Похоже там надо дополнительно требовать еще какие-то условия, типа существования каких-нибудь больших кардиналов. Для меня это новая информация, я как-то не задумывался над этим, думал, что с AD все так же, как с C.