Мы ни в чём не уверены?

[kolyanchick]

Уже почти месяц мне покоя не дают кое-какие вопросы, из-за которых я не могу нормально заниматься математикой (и вообще нормально жить, не размышля о них). Как только я сажусь делать что-то, он сразу же всплывает. Вот допустим, есть система аксиом Пеано. Можно точно утверждать, что она непротиворечива, потому что все её аксиомы точно могут быть истинными (потому что мы можем в реальной жизни взять 1 камень, 2 камня и так далее, и у нас всё будет хорошо, и аксиома индукции тоже очевидно работает), а следовательно, они непротиворечивы. Доказательство, конечно, неформально, но логично и очевидно. Евклидова геометрия тоже непротиворечива, потому что мы можем явно на бумаге проиллюстрировать все её аксиомы. А что, если мы возьмём, допустим, действительные числа? Есть ли какие-то неформальные, но очевидные суждения, через которые можно показать непротиворечивость действительных чисел? Это мой первый вопрос. И если ответ на него нет, т.е. мы не можем однозначно сказать, что действительные числа непротиворечивы, то тогда почему все так уверенно ими пользуются, не боясь наткнуться на парадоксы? На форуме был похожий вопрос (post1577917.html), на него ответили так: долго не находят никаких противоречий, значит, скорее всего, всё хорошо. Но вот это «скорее всего» мне и не даёт покоя. Почему математики так уверенно заявляют то, что то или иное утверждение точно верное, потому что они его доказали, если может оказаться, что система, в которой они работают, будет противоречивой, и они смогут и опровергнуть это утверждение тоже? Это же огромная проблема, которая сильно ограничивает нас в наших утверждениях, разве нет? Это мой второй вопрос. Эта проблема по идее должна нас ограничивать, потому что из-за неё я не могу быть уверен на все 100 процентов ни в чём, что я доказываю. Но ведь мы доказываем утверждения, чтобы быть уверенными в них на все 100 процентов, иначе смысл термина «доказательство» теряется. Да, эту проблему невозможно решить, ведь если система непротиворечива, то мы не можем доказать непротиворечивость системы, используя эту же систему, но не смотря на свою неразрешимость меня всё равно эта проблема сильно тревожит, потому что, как я уже сказал, из-за неё теряется смысл всего, что мы делаем. Те, кого это не беспокоит, объясните мне, почему это вас не беспокоит? Это третий вопрос.

[drzewo]

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Уже почти месяц мне покоя не дают кое-какие вопросы, из-за которых я не могу нормально заниматься математикой (и вообще нормально жить,

таблетки кончились?

[sergey zhukov]

Я уверен, что можно спокойно жить, не зная ответов на все эти вопросы. Мало ли какая чушь может прийти в голову. Над всем этим задумываться - может крыша поехать. Тем более, что все это - игры разума, придуманные проблемы.

[mihaild]

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Есть ли какие-то неформальные, но очевидные суждения, через которые можно показать непротиворечивость действительных чисел?

Очевидно, что ZF непротиворечива. Она доказывает существование модели вещественных чисел.

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Это же огромная проблема, которая сильно ограничивает нас в наших утверждениях, разве нет?

Нет.

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Те, кого это не беспокоит, объясните мне, почему это вас не беспокоит?

Потому что всё равно жизнь - тлен, все умрем, зачем беспокоиться?

[Red_Herring]

kolyanchick А вы уверены, что мы ни в чем не уверены?

[Anton_Peplov]

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Почему математики так уверенно заявляют то, что то или иное утверждение точно верное, потому что они его доказали, если может оказаться, что система, в которой они работают, будет противоречивой, и они смогут и опровергнуть это утверждение тоже?

Мысленно дописывайте в начале каждой теоремы: "Допустим, математика непротиворечива."

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Это же огромная проблема, которая сильно ограничивает нас в наших утверждениях, разве нет?

Ну жить-то как-то надо. Вы же миритесь с вероятностью, что Вам на голову упадет кирпич. Так и математики мирятся с вероятностью, что математика противоречива. Хотелось бы, конечно, доказать, что она непротиворечива. Но непротиворечивость достаточно богатой теории можно доказать лишь в некоторой метатеории. Непротиворечивость этой метатеории придется доказывать в некоторой метаметатеории, и там дальше бесконечная башня из черепах.

Рассел как-то сказал (цитирую по памяти): "Я жаждал определенности, как иные - религиозной веры". Отдав много сил разработке оснований математики, которые тогда были в зачаточном состоянии, он испытал жестокое разочарование, убедившись, что никакой железной определенности нет.

Я тоже, когда был моложе лет на десять, полез штудировать основания примерно из этих соображений. И в одном из учебников математической логики на первых же страницах прочитал примерно следующее: "Этот учебник ничего не скажет вам о том, как человек рассуждает. Он поведает о некоторой формальной системе, вдохновленной наблюдениями за человеческим мышлением, и не более того. Если вас это не устраивает, лучше закройте эту книгу сейчас".

Понимаю, велик соблазн относиться к математике как к источнику вечных истин. Но для психического здоровья полезнее относиться к ней как к грандиозной, жутко интересной, чрезвычайно полезной игре. Конь ходит буквой Г, таковы правила. Математика непротиворечива - мы это принимаем за посылку, потому что таковы правила. Иначе нужно бросить все эти теоремы и идти картошку копать.

[lel0lel]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1684345 писал(а):

нужно бросить все эти теоремы и идти картошку копать

Кстати, сейчас как раз время сажать картошку на даче. Тем более, дорожает она на рынке. Получится хороший инвестиционный проект, плюс для здоровья полезно, если чересчур не усердствовать.

[SomePupil]

Почему мы должны быть в чем-то уверены? Мир вообще-то носит вероятностный характер, мой друг из физфака говорил, что функциональные интегралы пишутся по всем возможным квантово-механическим траекториям, потому что ни одну из них нельзя исключить: они все возможны, даже самые сумасшедшие. В этом есть некая прелесть.

Наоборот, стремление закупорить всю прозу поэзий и поэтику проз в схему строго определенных принципов, пусть даже самых надежных и "мощных", в высшей степени странно, противоестественно.

[EminentVictorians]

sergey zhukov в сообщении #1684341 писал(а):

Я уверен, что можно спокойно жить, не зная ответов на все эти вопросы. Мало ли какая чушь может прийти в голову. Над всем этим задумываться - может крыша поехать. Тем более, что все это - игры разума, придуманные проблемы.

Похоже рассуждали в 19 веке, что мол, понятие аглоритма самоочевидное, зачем его формализовывать, все и так понятно. Но как оказалось, без точного определения алгоритма не получилось бы получить отрицательные результаты теории алгоритмов (например, об алгоритмической неразрешимости некоторых задач). Не было бы того же лямбда исчисления, а значит языки программирования скорее всего были бы крайне дурацкие. Так что все эти "низкоуровневые" вопросы вполне могут вылиться в реальный практический профит.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1684349 писал(а):

Не было бы того же лямбда исчисления, а значит языки программирования скорее всего были бы крайне дурацкие.

Не понимаю этого "значит".

EminentVictorians в сообщении #1684349 писал(а):

Так что все эти "низкоуровневые" вопросы вполне могут вылиться в реальный практический профит.

Все эти вопросы выливаются в интересные, хотя и специфические, области математики, такие как математическая логика, теория алгоритмов, теория множеств, теория типов и т.д. В этих областях доказываются свои достаточно интересные теоремы. Иногда эти области применяются для формализации неформальных доказательств, что помогает убедиться, что доказательство непротиворечиво, если непротиворечива использованная теория. Однако все это имеет мало отношения к вопросу о непротиворечивости теорий как таковых. Как ни развивай основания, теорем Геделя не обойти.

[dgwuqtj]

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Есть ли какие-то неформальные, но очевидные суждения, через которые можно показать непротиворечивость действительных чисел?

Раз уж вы принимаете на веру евклидову планиметрию, то можно внутри неё построить модель вещественных чисел: числа — это точки на прямой с отмеченными точками $O$ и $E$, арифметические операции задаются явными построениями. А имея вещественные числа, можно получить что-то в духе арифметики второго порядка, ну и тогда будет вся классическая математика (включая трёхмерное евклидово пространство и даже сепарабельные гильбертовы пространства).

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Почему математики так уверенно заявляют то, что то или иное утверждение точно верное, потому что они его доказали, если может оказаться, что система, в которой они работают, будет противоречивой, и они смогут и опровергнуть это утверждение тоже?

Одно другому не мешает. Обычно, когда говорят, что утверждение "верное", имеют в виду, что оно доказывается. Если оно также опровергается, это не означает, что доказательство неправильное (а ещё математики ценят идеи, использованные в доказательстве).

Вопрос скорее в том, почему всё это имеет смысл в приложениях математики. Но этот вопрос можно задавать независимо от противоречивости конкретных формальных систем, и он уже не относится к математике.

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Те, кого это не беспокоит, объясните мне, почему это вас не беспокоит?

Большинство профессиональных математиков это не беспокоит, потому что они просто не думают про основания. Кому интересно, могут прочитать книжки на эту тему (матлогика, теория множеств, философия математики), уверовать в ZFC, и т.д. А те, кто много беспокоится, физически не смогут этой деятельностью заниматься.

Есть ещё такое мнение, что существует некая "единая" математическая реальность, про которую обычно доказывают теоремы. Всякие формальные системы являются приближением к ней, но если вдруг в той же ZFC найдут противоречие, это всего лишь значит, что она является плохим приближением к реальности. Почти все доказательства исправлять не придётся, они написаны на естественном языке и довольно идейные. Переделают то, что явно использует ZFC (ту её часть, которая не соответствует реальности) и всякие формальные компьютерные доказательства, вот и всё.

[mihaild]

dgwuqtj в сообщении #1684352 писал(а):

то можно внутри неё построить модель вещественных чисел: числа — это точки на прямой с отмеченными точками $O$ и $E$, арифметические операции задаются явными построениями

Это получатся только некоторые алгебраические числа. Ни о какой полноте речи нет.

dgwuqtj в сообщении #1684352 писал(а):

А имея вещественные числа, можно получить что-то в духе арифметики второго порядка

Начиная с евклидовой геометрии - нельзя, потому что евклидова геометрия разрешима.

[dgwuqtj]

mihaild в сообщении #1684355 писал(а):

Это получатся только некоторые алгебраические числа.

Смотря что ТС понимал под евклидовой геометрией. Если там есть аксиома полноты, то все вещественные числа получаются как некоторые точки. Я же не утверждаю, что они должны быть построимы циркулем и линейкой.

[sergey zhukov]

EminentVictorians в сообщении #1684349 писал(а):

Так что все эти "низкоуровневые" вопросы вполне могут вылиться в реальный практический профит

Могут, конечно. Но скорее все же крыша поедет. Эти "экспедиции вниз" далеко не для всех. Человек уже жить нормально не может из-за какой-то чепухи. Нужно прекращать. А то может кончиться, как в фильме "$\pi$" (только еще выяснится в конце, что ты и не гений никакой, а просто балбес).

[miflin]

kolyanchick в сообщении #1684336 писал(а):

Те, кого это не беспокоит, объясните мне, почему это вас не беспокоит?

Потому что предпочитаю колоть дрова.

А. Эйнштейн писал(а):

Я хорошо понимаю, почему многие так любят колоть дрова: тут сразу налицо результат работы.