Еще раз о колмогоровской реформе

[vpb]

Mihr в сообщении #1683149 писал(а):

Это в принципе возможно?

Разумеется, возможно ! Это и в Киселеве доказывается, и в Атанасяне, и в Погорелове. В одном лишь уникальном, "логически стройном" Колмогорове принимается как постулат. Но, надо сказать, из трех признаков равенства треугольников этот самый сложный. Переписать сюда доказательство из Киселева или Атанасяна для меня никаких проблем, конечно, не составит (за исключением некоторой длины этого процесса).

-- 20.04.2025, 17:48 --

Mihr в сообщении #1683149 писал(а):

На те вопросы я, вроде, ответил. Замечаний от Вас тогда не последовало.

Это потому, что Вы тогда отвечали столь кратко, что у меня создалось впечатление, что Вы сам этот процесс хотите свернуть. И я не стал настаивать, чтоб не создавать излишнего напряжения.

-- 20.04.2025, 17:52 --

Да и переписывать из учебников мне ничего не надо. Могу и из головы сейчас написать, только некоторое время потребуется. Желаете ?

[Mihr]

vpb в сообщении #1683152 писал(а):

Могу и из головы сейчас написать, только некоторое время потребуется. Желаете ?

Спасибо. Как Вам удобнее. Ни на чём не настаиваю.

[Mihr]

vpb в сообщении #1683152 писал(а):

Это и в Киселеве доказывается, и в Атанасяне, и в Погорелове.

Посмотрел, как у Атанасяна. Третий признак равенства треугольников выводится с использованием свойства равнобедренного треугольника (углы при основании равны), а это свойство, в свою очередь, - из первого признака равенства треугольников. Доказательство же первого признака использует такие слова: "Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников..." (выделение моё). Здесь как раз используется то обстоятельство, что движение сохраняет углы. О котором Вы писали, что доказать это в школе невозможно (я недавно цитировал). Чем тогда подход Атанасяна лучше/строже? Не проще ли и честнее третий признак равенства треугольников просто принять без доказательства (как "очевидный")?

[Red_Herring]

С точки зрения использования школьной геометрии в дальнейших курсах (единственное что важно для подавляющего большинства учащихся) аксиоматика неважна. Поэтому лучше всего взять наиболее очевидную аксиоматику (ту, которая "очевидна") даже если она избыточна.

[Mikhail_K]

Mihr
Ну, сохранение углов при движении (при "наложении") - гораздо более очевидный факт, чем третий признак равенства треугольников. Насколько я помню, у Атанасяна этот факт взят за аксиому, и это не вызывает никаких вопросов. А третий признак совсем не такой уж очевидный, по-моему.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1683159 писал(а):

Ну, сохранение углов при движении (при "наложении") - гораздо более очевидный факт, чем третий признак равенства треугольников.

Наверное можно себе это интуитивно объяснить тем, что при движении сохраняются площади любых фигур (в том числе параллелограммов). Последнее можно воспринимать как опытный факт - следует из наблюдений за движением твёрдого тела. Зеркальное отображение тоже это сохраняет.

[Mihr]

Red_Herring, полностью с Вами согласен.

Mikhail_K, наверно, интуиция разных людей в чём-то различна. Вроде, мой повседневный опыт говорит о том, что треугольник, составленный из жёстких стержней, - недеформируемая фигура (сразу приходит на ум кронштейн). Что и означает сохранение всех углов. Я "вижу" так.

vpb, читаю, как же там у Погорелова. Впечатление... трудновыразимое. По-моему, в целом у него всё-таки гораздо хуже, чем у Колмогорова. Чтобы не быть голословным и не цитировать много, привожу изображения страниц (картинки кликабельны).

Вложение:

1103 (Copy).jpg [ 143.3 Кб | Просмотров: 0 ]

Итак, третий признак равенства треугольника. Погорелов начинает доказывать его... от противного. Что вообще не очень-то желательно, а в самом начале курса геометрии - и подавно. Но это ладно. Дальше, как и Атанасяну, ему потребовалось одно из свойств равнобедренного треугольника. Но другое: совпадение медианы с высотой.
Ладно. Листаю назад, смотрю, как он устанавливает это свойство. А вот так:

Вложение:

1102 (Copy).jpg [ 97.03 Кб | Просмотров: 0 ]

Эта теорема, в свою очередь, отсылает нас ещё к двум теоремам: о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника и к первому признаку равенства треугольников. Листаю назад, ищу доказательство равенства углов при основании. Нашёл

Вложение:

1101 (Copy).jpg [ 52.07 Кб | Просмотров: 0 ]

Текст, который я обвёл красной рамкой, меня просто убил.
Погорелов. Доказывает. Семиклассникам. Что. Треугольник $CAB$. Равен. Треугольнику $CBA$.
Доказывает, ссылаясь на первый признак равенства треугольников. Остановите Землю!
Нет, как хотите, изложение Колмогорова в сравнении с изложением Погорелова - верх изящества и педагогической мудрости.