Преобразование графика функции y=f(x) ( вращение)

[e7e5]

Возник вопрос по такой :
Обычно в учебниках встречал преобразования функций, как-то:
1) Сдвиг вдоль оси ординат на $c$ ( было $f(x)$ - стало $f(x)+c$ например)
2) Сдвиг воль оси абсцисс на $c$
3) Симметрия относительно оси ординат
4) Симметрия относительно оси абсцисс
5) Умножение каждой ординаты на число $a$
6) Деление каждой абсциссы на $a$
А меня интересует, кроме обозначенных случаев, вариант поворота графика функции относительно начала координат на некоторый угол $\phi(t)$, $t>0$ - параметр, например время

Например, $y=x^2$, вращается относительно начала координат против часовой стрелкис постоянной угловой скоростью.
Как для каждого момента времени ( снимок) выписать в явном виде ур. функции?

Как можно записать в этом случае $f(x)$?
Мне понятно, что в принцие можно вращать систему координат, но вот записать в явном виде новый вид функции, что-то пока не получает. Должно быть ведь просто Подскажите пожалуйста...

Может быть нужно вычислить производную - угол наклона в каждой точке. Далее, т..к функция вращается вокруг начала координат по известному закону, то будет известен угол наклона касатльной в каждой точке $f(x)$ в зависимоти от закона вращения, потом по этому углу восстанавливать искомую функцию?

[shwedka]

Перепишите уравнение кривой в полярных координатах, например, $r=\varphi(\theta)$. Тогда уравнение повернутого графика будет
$r=\varphi(\theta -\theta_0)$, где $\theta_0$ угол поворота. Если совсем нечего делать, то можно вернуться к Евклидовым координатам, но зачем?

[VAL]

shwedka писал(а):

Перепишите уравнение кривой в полярных координатах, например, $r=\varphi(\theta)$. Тогда уравнение повернутого графика будет
$r=\varphi(\theta -\theta_0)$, где $\theta_0$ угол поворота. Если совсем нечего делать, то можно вернуться к Евклидовым координатам, но зачем?

Альтернативный способ: записать уравнение $y = f(x)$ как параметрическое $(x = t, y = f(t)$ и применить формулы поворота
$ x = \hspace{2ex} x' \cos\theta_0 + y' \sin\theta_0, $
$ y = -x' \sin\theta_0 + y' \cos\theta_0 $

[e7e5]

shwedka писал(а):

Перепишите уравнение кривой в полярных координатах, например, $r=\varphi(\theta)$. Тогда уравнение повернутого графика будет
$r=\varphi(\theta -\theta_0)$, где $\theta_0$ угол поворота. Если совсем нечего делать, то можно вернуться к Евклидовым координатам, но зачем?

Видите ли какое дело, вообще то мне нужно будет еще искать вид функции $f(x)$ удовлетворящей определенным свойствам, а именно например:
a) в начале координат, т.О : $f(0)=0$
b) $f(x_0)=0$, $x_0>0$
c) $f(x)>0$ на отрезке [0; $x_0$]
d) при вращении функции вокруг начала координат значения этой "вращающейся функции" должны "плавно скользить" или проходить через т $x_0$/ Этот пункт особенно важен
Т.е. когда кривая еще только начинает вращаться, все ее точки в окрестности $x_0$ ( выше оси OX), будут при вращении проходить ( скользить) через $x_0$ И вот эта кривая продолжает вращаться, все новые и новые ее части будуть скользить через $x_0$. Рано или поздно наступит момент когда при вращении $f_i(x)<0$. При этом ясно, что не все части кривой пройдут через т. $x_0$
e) должна быть такой, чтобы площадь под кривой на отрезке [0; $x_0$] при вращении
уменьшалась максимально быстро для всех возможных видов искомых функций ( кривых)

[shwedka]

Всё разумное из этого переведите в полярные координаты или в параметрическую форму -- и вперед. Но сначала хорошо поймите, что Вам нужно. Условие про 'скользить', на мой взгляд, вызывает в продуманности некоторые сомнения.

[e7e5]

e7e5 писал(а):

shwedka писал(а):

Перепишите уравнение кривой в полярных координатах, например, $r=\varphi(\theta)$. Тогда уравнение повернутого графика будет
$r=\varphi(\theta -\theta_0)$, где $\theta_0$ угол поворота.

Пусть нужно найти $r=\varphi(\theta)$, так что при повороте $r=\varphi(\theta -\theta_0)$, где $\theta_0$ выполняются условия:

Вот тут настал "ступор", как же математически описать это механическое движение "скольжения", когда какая-то часть кривой должна при вращении удерживаться двумя заданными точками на оси OX : т.О и $x_0$, а кривая сохраняет свою форму?

Или такой кривой в принципе быть не может? Нельзя придумать такую кривую, чтобы при вращении сколь угодно малый ее участок принадлежал сколь угодно малому участку около т $x_0$?

[shwedka]

e7e5 в сообщении #168294 писал(а):

Вот тут настал "ступор", как же математически описать это механическое движение "скольжения", когда какая-то часть кривой должна при вращении удерживаться двумя заданными точками на оси OX : т.О и $x_0$, а кривая сохраняет свою форму?

Не надо пока математически. Опишите простыми словами, представьте себя другим человеком, прочитайте. Если можно понять не так, как Вы хотите, значит написано плохо.


Если потребовать, чтобы кривая при повороте проходила бы все время через фиксированную точку $x_0$, то ничего кроме окружности не бывает.

Цитата:

Нельзя придумать такую кривую, чтобы при вращении сколь угодно малый ее участок принадлежал сколь угодно малому участку около т $x_0$?

Вот пишете такое, но ведь не сможете объяснить, что имеется в виду под словами 'сколь угодно малый участок'.

[Алексей К.]

Задача, в которой возникает задача "вращения графика функции", есть плохо поставленная либо плохо понятая либо плохо протрактованная задача. Так не должно быть, и не бывает (в природе, в механике, в задачниках, в жизни; соответственно, и в ментовке).

[Brukvalub]

e7e5 в сообщении #168262 писал(а):

А меня интересует, кроме обозначенных случаев, вариант поворота графика функции относительно начала координат на некоторый угол $\phi(t)$, $t>0$ - параметр, например время

Беда в том, что при повороте графика он останется кривой, но вполне может перестать быть графиком вообще какой-либо функции. Ведь график функции пересекается с любой вертикальной прямой не более, чем в одной точке, и, после поворота, не обязан сохранить это свойство.

[Yu_K]

Вспомнилась задачка - найти линию точек контакта двух эллипсов, один из которых вращается с постоянной скоростью вокруг своего фокуса, а второй с некоторой переменной скоростью, но так что постоянно касается первого в одной точке. На картинке два варианта - внутреннее касание и внешнее - можно ли получить аналитическое выражение в параметрическом виде для этих линий. Задача из Мещерского 14.7 (изд. 2003) - но там просят только определить угловую скорость второго эллипса в зависимости от некоторого параметра.