Посчитать объём подпространства

[B@R5uk]

Пусть дано некоторое ограниченное пространство. Обозначим его

$$\mathbb{S}$$

Это может быть отрезок от 0 до 1 с "объёмом" 1 или квадрат со стороной 1, "объёма" 1. Это может быть плоский тор (тот же квадрат, но со склеенными противоположными сторонами без перехлёста), того же "объёма". Или вложенная в трёхмерие единичная сфера с "объёмом" 4п.

Теперь рассматриваем декартово произведения N таких пространств:

$$\mathbb{S}^N$$

и накладываем на "радиус-вектор" R точки в нём ограничение:

$$\mathbb{C}:f\bigl(\mathbf{R}\bigr)=0$$

Очевидно, что получающееся подпространство точек

$$\mathbb{S}^N/\mathbb{C}=\Bigr\{\;\mathbf{R}\in\mathbb{S}^N\;|\;f\bigl(\mathbf{R}\bigr)=0\;\Bigl\}$$

является ограниченным: оно является подпространством ограниченного пространства. Можно ли как-то измерить его объём?

Если да, то как? Если нет, то почему? Если вопрос некорректен, то что надо добавить и/или изменить, чтобы он стал таковым?

[dgwuqtj]

Если всё гладкое, то хочется что-то в духе римановой метрики на $\mathbb S$. Например, если $\mathbb S$ двумерное и $N = 1$, то вы буквально хотите измерять длины замкнутых кривых. Можно ограничиться метрикой и считать меру Хаусдорфа.

[B@R5uk]

Ух! У меня же вроде нет фракталов, все пространства гладкие и функция f дифференцируемая. Можно даже считать её линейной для начала. Это как из пушки по воробьям будет. Или что-то недопонимаю?

У меня тут закрадывается подозрение, что я не совсем корректно задал вопрос в том смысле, что межпростанственная мера между разными исходными пространствами в декартовом произведении не определена. Что если её как-то вывести из меры исходного пространства, трактуя одну точку в декартовом произведении, как две (и более точек) в исходном?

Я просто вообще никакой теории не знаю, где бы эти вопросы обсуждались.

[dgwuqtj]

У вас проблема уже с одним сомножителем. Давайте возьмём тор $\mathbb T = (\mathbb R / \mathbb Z)^k$, на нём есть стандартная мера. И у него есть автоморфизмы (диффеоморфизмы, сохраняющие меру) в виде элементов $\mathbb T \rtimes \mathrm{GL}(k, \mathbb Z)$. Как вы собираетесь мерять площади гиперповерхностей, чтобы эта самая площадь сохранялась при таких автоморфизмах? В гладком случае знание площадей гиперповерхностей — это примерно то же самое, что и знание длин кривых, но не существует римановой метрики, инвариантной относительно $\mathbb T \rtimes \mathrm{GL}(k, \mathbb Z)$ при $k \geq 2$.

[B@R5uk]

Если честно, я не владею употреблёнными терминами, поэтому даже не понимаю, что вы хотели до меня донести. $\mathrm{GL}(k, \mathbb Z)$ — это общая линейная группа порядка k над полем целых чисел? Они ж, вроде, полем не являются. И даже если выбрать правильное поле, единственное, что я знаю (и, возможно, не верно) — это то, что общая линейная группа является группой обратимых матриц соответствующего размера над соответствующим полем. Я без понятия, как она устроена (кроме того, что в ней есть подгруппа матриц с определителем 1, устройство которой я тоже не знаю, но знаю, что она нормальная, и фактор-группой по ней является группа диагональных матриц. Или наоборот?). И это в общем-то всё.

Можно-ли как-нибудь на пальцах или на наглядном примере объяснить в чём проблема?

Я вот тут ещё загвоздку подметил, не знаю, правда, имеет ли она отношение к тому, что вы сказали или нет. Если рассматривать не просто ограниченное плоское двумерное пространство, а замкнутое, например, двумерный тор, то можно привести следующий пример. Пусть из начала координат (которым будут являться каждая из вершин квадрата со сшитыми противоположными границами) выходит прямая. Если её наклон не является рациональным числом, то она будет пересекать границы квадрата (по которым он сшит в тор) множество раз так никогда в начало координат и не возвращаясь. Получается бесконечная длина, а линия заполняет весь тор плотно. Несмотря на это, бесконечность тут кажется неправильной величиной "объёма" линии. Вот, например, если бы линия возвращалась в начало координат после трёх пересечений верхней границы, то она бы делила весь квадрат на меньшие части, чем если бы она возвращалась после двух пересечений или бы просто была диагональю квадрата. Эту связь с объемлющим пространством надо как-то тоже учитывать. Например, соответствующую "завышенную" длину надо было бы поделить на число раз, которым линия пересечёт верхнюю границу или что-то типа того.

[dgwuqtj]

Если по-простому, то берём двумерный тор $(\mathbb R / \mathbb Z) \times (\mathbb R / \mathbb Z)$. У него есть автоморфизм $(x, y) \mapsto (x, x + y)$, который должен сохранять меру. Получается, что длины окружностей $y = 0$, $y = x$, $y = 2 x$ и т.д. совпадают. Такая функция длины даже не непрерывна, ведь эти окружности сходятся к $x = 0$, которая проходится бесконечно много раз.

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1682870 писал(а):

У него есть автоморфизм $(x, y) \mapsto (x, x + y)$

Так ведь у автоморфизма должно быть добавление константы к координате, а не целой другой координаты. Иначе это будет эквивалентно разрезанию тора вдоль одной из сторон, перекручиванию его (тора в смысле, а не переворот стороны) на один оборот вдоль координаты, которая осталась не разрезанной, с последующей склейкой. Это преобразование какое-то не такое (не знаю, как это строго математически сформулировать). Отсюда и проблема растёт: перекручиваем тор с разрезанием до тех пор, пока все линии (в том числе горизонтальные) не станут вертикальными. Этот автоморфизм (если он таковым является — без определения для этого пространства не могу сказать), не является в каком-то смысле вполне непрерывным: его нельзя получить композицией (возможно бесконечной) непрерывных "инфинитезимальных" преобразований тора (сдвигов/поворотов/растяжений на бесконечно малые величины). Или я ошибаюсь?

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1682877 писал(а):

его нельзя получить композицией (возможно бесконечной) непрерывных "инфинитезимальных" преобразований тора (сдвигов/поворотов/растяжений на бесконечно малые величины).

Ну да, он не в компоненте связности единицы, даже в группе гомеоморфизмов. Вопрос в том, какую дополнительную структуру навесить на тор, чтобы эта штука вообще перестала быть автоморфизмом.

Вам это вообще с какой целью нужно?

[B@R5uk]

Да так, задел на будущее, если повезёт. Я тут просто имею у себя в голове некие подпространства, а в них точки. И на расстояния между этими точками было бы неплохо накладывать всякие оценивающие неравенства, в том числе на основе мер более высокой размерности, чем 1 (по аналогии с плоскостью и сферой, вложенной в трёхмерие). Объемлющее пространство ограничено, подпространства должны тоже быть ограниченными по идее. Но прежде чем какие-либо оценки строить, было бы неплохо знать и осознавать подлежащую теорию для них. Я тут подумал, и даже не смог сообразить, как объёмы этих ограниченных подпространств считать. Поэтому и спрашиваю, может есть чё более-менее разработанное на эту тему и не слишком заумное, чтобы не десяток лет на осваивание потратить.

-- 18.04.2025, 14:58 --

Ух! Нашёл тут что значит компонента связности единицы. Я так понимаю, без более глубокого погружения в группы не обойтись? Или это нужно только для изучения "плохих" пространств?

[B@R5uk]

А что, если подойти к проблеме выше с другой стороны. Пусть есть некоторое регулярное (гладкое) ограниченное пространство $\mathbb S$ с какой-то регулярной метрикой

$$\rho_{\mathbb S}\bigl(\mathbf r_1,\;\mathbf r_2\bigr)$$

Затем требуем, чтобы расстояния вдоль некоторой "хорошей" поверхности

$$\mathbb C:\;f(\mathbf r)=C$$

равнялись нулю. Варьируя здесь константу C можно заполнить всё пространство $\mathbb S$ системой поверхностей f плотно. Можно ли будет получить метрику для нового "урезанного" пространства

$$\mathbb S/\mathbb C$$

каким-нибудь разумным образом, чтобы она индуцировала длины и объёмы и прочие метрические радости в новом пространстве без всяких проблем? Какой раздел математики может такими вещами заниматься?

[dgwuqtj]

Обычно метрикой называют штуку, которая положительна для различных точек. То есть она не обнуляется на поверхности. А так есть же общая конструкция метрики на фактормножестве:

$$\rho_{\mathbb S / {\sim}}([x], [y]) = \inf\{\sum_{k = 1}^n \rho_{\mathbb S}(x_k, y_k) \mid x \sim x_1, x_2 \sim y_1, \ldots, y \sim y_n\}.$$

[B@R5uk]

О! Логично. А какой это раздел математики и что почитать для новичка в вопросе?

[dgwuqtj]

Бураго, Бураго, Иванов, Курс метрической геометрии, 3 глава, определение 3.1.12. Я там неправильно написал метрику на фактормножестве, исправил.

[B@R5uk]

Спасибо!