Ряд

[QueenMaid]

Исследовать на сходимость ряд \sum (a_n)

$$\int_{n}^{\infty} \frac{cos x}{x} dx$$

Делались разные замены, но они не приводят к чему-то вменяемому.Если и применять признаки сходимости, то не понятно как удачно например в признаке Дирихле выбрать функции или как и чем ограничить по Веерштрассу.

[PAV]

PAV:

Тема переносится в карантин. Исправьте в своем сообщении формулы в соответствии с правилами форума (инструкция здесь). Когда будет готово, сообщите любому модератору, и тема будет возвращена обратно.

Добавлено спустя 50 минут 14 секунд:

Возвращено

[Brukvalub]

QueenMaid в сообщении #168169 писал(а):

Делались разные замены, но они не приводят к чему-то вменяемому

А критерий Коши проверить не пробовали?

[shwedka]

QueenMaid
Вы уверены, что в нижнем пределе интеграла стоит
$n$, а не $n\pi$?

[Brukvalub]

shwedka в сообщении #168188 писал(а):

Вы уверены, что в нижнем пределе интеграла стоит
$n$, а не $n\pi$?

А разве от этого что-либо зависит?

[shwedka]

Brukvalub
Да, для $n\pi$ сходимость получается довольно легко из простых оценок, но для $n$ все зависит от свойств последовательности цифр $\pi$ в двоичной системе, что, скорее всего, неизвестно. Если стоит $n$, то в ряде могут появляться рядом стоящие члены одного знака, и их проконтролировать кисловато.

[RIP]

Проинтегрируйте формулу для $a_n$ пару раз по частям (под дифференциал вносите тригонометрические функции).

[QueenMaid]

RIP
Так уже делали, но не ясно что делать с получаемыми потом суммами косинусов и синусов умноженых на факториалы.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #168199 писал(а):

А разве от этого что-либо зависит?

да, безусловно не зависит, ибо интеграл безусловно сходится (а что не абсолютно -- так кого это интересует)

[shwedka]

ewert в сообщении #168272 писал(а):

интеграл безусловно сходится

А что это значит?? определение, плиз. Меня в яслях учили, что 'безусловно' это то же, что абсолютно. Теорема такая есть.

[ewert]

в яслях обычно говорят, что ежели сходится безусловно -- то сходится непосредственно по определению, и это безусловно. Т.е.всем ежам это понятно. И это вовсе не значает, что абсолютно.

[antbez]

Примените просто признак Дирихле для сходимости произведения

[shwedka]

ewert в сообщении #168283 писал(а):

то сходится непосредственно по определению, и это безусловно.

Чего-то в разные ясли мы ходили.

Цитатку не кинете, что безусловно-- это по определению?
Или скажете, что такое тогда 'условно'?

[Brukvalub]

Отвечу за RIP, который указал изящное решение:
$\int\limits_n^\infty {\frac{{\cos x}}{x}} dx = \int\limits_n^\infty {\frac{{d\sin x}}{x}} = - \frac{{\sin n}}{n} + \int\limits_n^\infty {\frac{{\sin x}}{{x^2 }}} dx = - \frac{{\sin n}}{n} - \int\limits_n^\infty {\frac{{d\cos x}}{{x^2 }}} = - \frac{{\sin n}}{n} + \frac{{\cos n}}{{n^2 }} + 2\int\limits_n^\infty {\frac{{\cos x}}{{x^3 }}dx} $
Итак, имеем:
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\int\limits_n^\infty {\frac{{\cos x}}{x}} } dx = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin n}}{n}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos n}}{{n^2 }}} + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {\int\limits_n^\infty {\frac{{\cos x}}{{x^3 }}dx} }$
Оценим последнее слагаемое: $\left| {2\int\limits_n^\infty {\frac{{\cos x}}{{x^3 }}dx} } \right| \le 2\int\limits_n^\infty {\frac{{dx}}{{x^3 }}} = \frac{1}{{n^2 }}$
Поэтому все три ряда сходятся, значит, и исходный ряд сходится.
Повторяю - идея этого решения принадлежит RIP, я лишь с удовольствием ее исполнил!

Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду:

shwedka в сообщении #168336 писал(а):

Цитатку не кинете, что безусловно-- это по определению?

Обычно ряд называют безусловно сходящимся, если все перестановки его членов сходятся (к одной сумме).

[ewert]

shwedka в сообщении #168336 писал(а):

Чего-то в разные ясли мы ходили.

Точно. У нас в яслях были понятия условной сходимости и абсолютной, а вот безусловной -- не было.

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

Brukvalub в сообщении #168341 писал(а):

Обычно ряд называют безусловно сходящимся, если все перестановки его членов сходятся (к одной сумме).

Согласно теореме Римана, это равносильно абсолютной сходимости.