Общее собственное значение и дельта функция

[PhysicsEnjoyer]

Как доказать что единственной общей собственной функцией оператора зеркального отражения $\hat{I}$ и оператора умножения на координату $\hat{x}$ есть дельта ф-я $\Psi(x) = C\delta(x)$ ?
Как я понял, первое условие дает то что ф-я четна/нечетна, второе то что $(x-x_0)\Psi(x) = 0$ для любого $x$

[drzewo]

1) Дано: $(f,x\psi)=\lambda (f,\psi),\quad \forall \psi\in\mathscr{D}(\mathbb{R})$
При этом $\ker\delta_\lambda=\{(x-\lambda)\psi\}$.
Убеждаемся, что $\ker\delta_\lambda\subset\ker f$. Следовательно, $f=c\delta_\lambda$

2) Дано: $(f,\psi(-x))=\lambda' (f,\psi),\quad \forall \psi\in\mathscr{D}(\mathbb{R})$
.......

[PhysicsEnjoyer]

drzewo
Под $ (f,\psi)$ я так понимаю, подразумевается действие линейного функционала $f$ на произвольную функцию.
Вы доказали что $\lambda$ это "собственная функция" оператора координаты с собственным значением $\lambda$. Я так понимаю единственность собственной функции для каждого $\lambda$ следует из определения дельта ф-ии $(\delta_{\lambda}, g) = g(\lambda)$ ?
Насчет второго, это как я понял мне упражнение
Собственные значения оператора отражения это $+1$ и $-1$. Возьмем $\lambda' = 1$
$(f,\psi(-x)) = 1\cdot (f,\psi(x))$
$(f,\psi(-x)) = (f,\psi(x))$
$(f,\psi(-x) -\psi(x)) = 0$
Что бы это было верно для произвольной функции, нужно что бы $(f,\psi(-x) -\psi(x)) = \psi(-0) -\psi(0) =0 $, и это дельта функция $\delta_0$
Таким образом общей собственной функцией будет $\delta_0$.
Спасибо, пролили мне свет на то как строго находить собственные обобщенные функции (если это так вообще называется)