Новое ли и свойство ли это Пифагоровых Троек или пустышка?

[transcendent]

Речь пойдёт о том, что же это найдено такое-свойство ли это, и новое ли для Пифагоровых Троек (примитивных, пока)? "Свойство примитивных пифагорейских троек бесконечно воспроизводиться подобно трем цифрам меньших порядков в других примитивных пифагорейских тройках при других системах счисления." Для математиков это "нет проблем", $\mod n$ , когда они пишут Пифагорову Тройку так: $x=a \mod n$, $y=b \mod n$, $z=c \mod n$, где $n$ целое $>1$. При этом, естественно, что они имеют в виду следующие записи для соответствующей Пифагоровой Тройки: $x=An+a$, $y=Bn+b$, $z=Cn+c$, где $(A, B, C) $ > или равно 1, целые числа. То, о чём пойдёт речь ниже, использовалось нами не только для Пифагоровых Троек, поэтому, мы изначально выбрали иные обозначения: вместо $n$ мы применяли $p$, которое является не обязательно простым числом; вместо $A, B, C$ мы применяли $t_1, t_2, t_3$, соответственно. [Это вызвало жуткую критику со стороны одной из нероссийских математиков, но мы пренебрегли этой критикой, обосновывая это тем, что не должно быть путаницы с $m, n$ в параметрических уравнениях для Пифагоровых Троек, показанных/применяемых ДАЖЕ в англоязычной Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple] Завершая такое краткое , типа, Введение, скажем , что применяя $\mod$ы (что естественно), мы дальше говорим только новых основаниях числовых систем счисления, в которых мы будем показывать соответствующие Пифагоровы Тройки, которые содержат какие-то исходные Пифагоровы тройки, как младшие цифры. Да...И покажем на примере "Кубических" Четвёрок, что они не следуют такому алгоритму, какой свойственен Пифагоровым Тройкам. При этом , мы держим в уме, что "Кубические" Четвёрки это такие числа, которые являются решения уравнения , вида $a^3+b^3+c^3=d^3$, -например, $3^3+4^3+5^3=6^3$. Больше таких четвёрок можно найти, например. здесь: https://www.researchgate.net/publication/242175197_On_the_solution_of_the_cubic_Pythagorean_Diophantine_equation_x3_y3_z3_a3
Всё то же, что и для "Кубических" четвёрок, видимо, можно сказать и для Пифагоровых Четвёрок , https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_quadruple-мы это видим, что называется, "на глаз", но , может, мы ошибаемся и кто-то сделает опровержение или строгое доказательство? (Хотя бы применяя , как образец доказательство для "Кубических" Четвёрок.)
С учётом сказанного выше, легко получить формулу для генерации новых Пифагоровых Троек: $p=2(ct_3-at_1-bt_2)/(t_1^2+t_2^2-t_3^2)$, $(1)$.
С одной стороны, мы имеем следующие Пифагоровы Тройки в числовой системе $10$ с совпадающими младшими цифрами- соответствующие цифры выделены жирным шрифтом (извинения, что они не показаны в math):
5, 12, 13;
15, 112, 113;
165, 52, 173;
и т.д., до бесконечности.
С другой стороны, мы имеем в числовой системе 16 сгенерированные Пифагоровы Тройки:
5, C, D, где$ C_{16}=12_{10}$, $D_{16}=13_{10}$;
15, DC, DD, или $21, 220, 221$ в числовой системе $10$;
25, 2AC, 2AD, или $37, 684, 685$ в числовой системе $10$;
и т.д., до бесконечности.
Очевидно, что возможны случаи, когда одна и та же Пифагорова Тройка может быть получена из двух различных Пифагоровых Троек.
Например, Тройка $21, 220, 221$ может быть получена из Троек $3, 4, 5$ и $5, 12, 13$, когда $p=18$ и $p=16$, соответственно.
Очевидно , что случаи $t_1=t_2=t_3=1$ и $t_1=t_2=t_3=N$, где $N$ любое натуральное число, невозможны, если мы пока ещё работаем при положительных $ p$. Эти утверждения легко доказуемы, если применить в формуле $(1)$, выше, формулу Евклида и мы получим $p=4n^2-4mn$, что при $m>n$ даёт отрицательные значения p, что есть нонсенс для нашего случая при $t_1=t_2=t_3=1$. Аналогичные результаты будут получены при $t_1=t_2=t_3=N$.
Вот, весь этот текст и выражает суть вопроса, поднятого в данной ветке-свойство это Пифагоровых троек или не свойство? Если свойство, то новое оно или "хорошо забытое старое"? Или и не забытое вовсе? Или, и не свойство, вовсе?
Для подкрепления правомерности вопроса приводим доказательство невозможности вышеописанного свойства в случае "Кубических" Четвёрок.

Теорема: Не существует «кубической» четверки с числами $x=pt_1+a$, $y=pt_2+b$, $z=pt_3+c$, $u=pt_4+d $ ни в одной числовой системе счисления с основанием $p>0$, если существует «кубическая» четверка $a, b, c, d $ в уравнении $a^3+b^3+c^3=d^3$, где $p$ — основание системы счисления, числа $a, b, c, d$ являются коэффициентами при $p^0$ в $p$-адических представлениях чисел $x, y, z, u $ и $t_i $> или равно 1, целые числа.
Доказательство ( с любезного дозволения читателей, мы приводим его на английском языке-потому что оно у нас есть на этом языке и не хотелось бы тратить силы на перевод туды-сюды, а вы и так поймёте, ведь, не так ли?):
1. Let's prove the theorem by contradiction and let we have $a^3+b^3+c^3-d^3=0 \mod p$ , then there is equation $x^3+y^3+z^3=u^3$.
2. We have $x^3=(pt_1+a)^3=p^3t_1^3+3p^2t_1^2a+3pt_1a^2+a^3$,
3. We have $y^3=(pt_2+b)^3=p^3t_2^3+3p^2t_2^2b+3pt_2b^2+b^3$,
4. We have $z^3=(pt_3+c)^3=p^3t_3^3+3p^2t_3^2c+3pt_3c^2+c^3$,
5. We have $u^3=(pt_4+d)^3=p^3t_4^3+3p^2t_4^2d+3pt_4d^2+d^3$.
6. Simplifying, we get an equation: $p^3(t_1^3+t_2^3+t_3^3)+3p^2(at_1^2+bt_2^2+ct_3^2)+3p(a^2t_1+b^2t_2+c^2t_3)=0 \mod t_4$ and then:
7. $p^2(t_1^3+t_2^3+t_3^3)+3p(at_1^2+bt_2^2+ct_3^2)+3(a^2t_1+b^2t_2+c^2t_3)=0$.
8. The resulting equation cannot give positive integer solutions, $|p|$. This contradicts the statement in p.1 and this proves the Theorem.
Q.E.D.
Нам было указано также, что теорема Декарта, https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem , доказывает более общий случай.
Так же в этой связи , возможно, уместно будет упомянуть и это: https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set