Задачи на собственные значения

[PhysicsEnjoyer]

1) Найти собственные значения и собственные функции оператора
$ \hat{F}\Psi(x) = \int f(x)f^*(x')\Psi(x')dx'$
Запишем так
$f(x) \int f^*(x')\Psi_n(x')dx' = f_n \Psi_n(x)$
Умножив на $f^*(x)$ и проинтегрировав по $x$ получим что $f_n \equiv f_0 = \int |f(x)|^2dx$
Тогда видно что собственная функция $\Psi_0(x) = f(x)$
Вопрос - как доказать что других собственных функций нет, т.е. что $f_0$ - невырожденное.
2) Найти собственные функции и значения оператора комплексного сопряжения $\hat{K}\Psi = \Psi^*$
Пока просто не получил правильный ответ

[drzewo]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681420 писал(а):

Найти собственные значения и собственные функции оператора
$ \hat{F}\Psi(x) = \int f(x)f^*(x')\Psi(x')dx'$

т.е. образ оператора является одномерным пространством. Да, не просто найти собственные функции в такой задаче.

[PhysicsEnjoyer]

drzewo
да, не думал в таком ключе.
Этот вопрос отпал, спасибо

Насчет второго
$\Psi^* = A \Psi \exp(i\alpha)$
Взяв модуль справа и справа и слева, получим что $A=1$
Пусть $\Psi = g + i\cdot f$
$g - if = (\cos\alpha + i \sin \alpha)(g+if)$
$g-if = (g \cos\alpha - f \sin\alpha) + i(g \sin \alpha + f \cos\alpha) $
$f = -g \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = -g \tg\alpha/2 $
$\Psi = g(1-i\tg\alpha/2) = \frac{g}{\cos\alpha/2}\exp(-i\alpha/2) $
Положим $q(x) = \frac{g}{\cos\alpha/2}$
$\Psi = q(x)\exp(-i\alpha/2)$

Тут тоже вопрос отпал, надо было всего лишь аккуратно расписать

[yesterday]

По хорошему, будет так.
Если вы на ФФ учитесь, но пытаетесь вперед программы бежать, то никак. Дождитесь, когда на вашем курсе вам пояснят. Если вы занимаетесь самообразованием, то прочтите перед этим всем вводный курс по обобщенным функциям. Вы узнаете, что это не функции, а функционалы. И работать с ними, как с функциями нельзя.