Разные вопросы математической логики

[realeugene]

mihaild в сообщении #1681286 писал(а):

Нет. Вы пишете $B$, это сбивает, надо обязательно указывать теорию.

В упомянутой ранее мною книге Булоса утверждение в таком виде (для любого предиката $B(x)$ в любой $T$ как расширения $Q$, удовлетворяющего свойствам предиката доказуемости) приведено на стр. 249 в качестве формулировки второй теоремы Гёделя.

Да, там указана теория $T$.

-- 06.04.2025, 13:42 --

mihaild в сообщении #1681286 писал(а):

Собственно из теоремы о дедукции следует, что если в арифметике недоказуема противоречивость арифметики, то добавление в арифметику аксиомы о ее непротиворечивости оставляет ее непротиворечивой.

Если честно, не понимаю, мне нужно разбираться, каким образом формулируется аксиома непротиворечивости в расширенной теории. Ведь в любой модели $T$ предикат доказуемости должен уже быть определён на её номере, и эта модель - интерпретация для расширенной теории в том же языке и с теми же числами, в которой предикат доказуемости остался предикатом доказуемости.

-- 06.04.2025, 14:00 --

realeugene в сообщении #1681284 писал(а):

важно, что возможно средствами этой арифметики вычислить номера подвыражений по номеру некоторого предложения.

Возможно, кстати, тут я написал неправду, и номера подвыражений вычислять не нужно. Не помню детали, нужно копать, почему не достаточно просто какого-то произвольного вложения множества предложений в числа этой теории?

[epros]

realeugene в сообщении #1681266 писал(а):

epros в сообщении #1681264 писал(а):

Смотря в какой модели.

В стандартной модели арифметики на натуральных числах, расширенной предикатом доказуемости, значение которого и нужно дополнительно задать.

А как определяется стандартность модели для расширенной арифметики?

realeugene в сообщении #1681278 писал(а):

Так что как только мы добавляем в нашу аксиоматику в качестве аксиомы $\neg B\left(\ulcorner \mathbf 0 = \mathbf 1 \urcorner\right)$, или любую аналогичную, исключающее такие интерпретации (т. е. что все предложения, которые можно доказать нашей механической процедурой, истинны во всех моделях нашей теории), мы получаем противоречие со второй теоремой Гёделя.

Нет конечно.

dsge в сообщении #1681271 писал(а):

выложил из интернета результаты опроса, что 25% россиян верят, в то, что Земля плоская

Наверное, результаты этого опроса свидетельствуют о том, что 25% россиян в определённых условиях склонны пошутить.

[realeugene]

epros в сообщении #1681291 писал(а):

Нет конечно.

Но почему?

-- 06.04.2025, 14:10 --

epros в сообщении #1681291 писал(а):

А как определяется стандартность модели для расширенной арифметики?

Не вижу где именно используется, что модель стандартная. Нужно только иметь возможность записать в виде рекурсивной функции номер для диагонализации. Это требует вычисления номера конкатенации двух подвыражений. Но сам номер выражения при этом - выражение-число в рассматривамой арифметике без привязки к модели.

[epros]

realeugene в сообщении #1681292 писал(а):

epros в сообщении #1681291 писал(а):

Нет конечно.

Но почему?

mihaild же Вам ответил. Предикат доказуемости для расширенной арифметики другой. А непротиворечива расширенная арифметика ровно настолько же, насколько и сама арифметика Пеано.

realeugene в сообщении #1681292 писал(а):

Не вижу где именно используется, что модель стандартная.

Вы сказали, что Вам нужна истинность предиката в стандартной модели. А вообще-то модели бывают всякие. Есть такие, в которых он истинный, а есть такие, в которых он ложный.

[realeugene]

epros в сообщении #1681294 писал(а):

Предикат доказуемости для расширенной арифметики другой.

Так чем он отличается? Интерпретации те же. Правила вывода те же. Арифметика та же. Нумерация формул та же. Свойство предиката быть предикатом доказуемости не зависит от наших дальнейших расширений аксиоматики. Если в расширенной теории есть свой предикат доказуемости, то он является предикатом доказуемости и в $T$.

-- 06.04.2025, 14:32 --

epros в сообщении #1681294 писал(а):

Вы сказали, что Вам нужна истинность предиката в стандартной модели.

Я ошибся. Возможно, не нужна.

Гёделева нумерация не использует свойства стандартной модели. Гёделев номер - это выражение-число (нуль с кучей апострофов) в языке $Q$.

[epros]

realeugene в сообщении #1681295 писал(а):

Если в расширенной теории есть свой предикат доказуемости, то он является предикатом доказуемости и в $T$.

Нет конечно.

realeugene в сообщении #1681295 писал(а):

Так чем он отличается? Интерпретации те же. Правила вывода те же. Арифметика та же. Нумерация формул та же. Свойство предиката быть предикатом доказуемости не зависит от наших дальнейших расширений аксиоматики.

Не, ну Вы даёте. Доказуемость именно от аксиоматики и зависит.

[mihaild]

realeugene в сообщении #1681289 писал(а):

В упомянутой ранее мною книге Булоса утверждение в таком виде

Нет.

Цитата:

Пусть $B(y)$ - предикат доказуемости для теории $T$. Тогда если $T$ непротиворечива, то не имеет места $\vdash_{\color{red}{T}} \neg B(\ulrcorner 0 = 1\urcorner)$.

realeugene в сообщении #1681289 писал(а):

Ведь в любой модели $T$ предикат доказуемости

Нет никакого общего "предиката доказуемости", он свой для каждой теории.
Имеет вид "существует натуральное число, кодирующее доказательство нужного утверждения в нужной теории, т.е. последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой нужной теории, либо выводится из предыдущих, и заканчивающаяся нужным утверждением".

[realeugene]

epros в сообщении #1681296 писал(а):

Не, ну Вы даёте. Доказуемость именно от аксиоматики и зависит.

Вы правы: запутался и сморозил чепуху. Нужно подумать.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1681297 писал(а):

Нет никакого общего "предиката доказуемости", он свой для каждой теории.

Спасибо, начинаю о чём-то подозревать.

mihaild в сообщении #1681297 писал(а):

Имеет вид "существует натуральное число, кодирующее доказательство нужного утверждения в нужной теории, т.е. последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой нужной теории, либо выводится из предыдущих, и заканчивающаяся нужным утверждением".

Вот именно из таких соображений я и пришёл интуитивно к выводу, что если у нас есть цепочка вывода в $T$, то она должна остаться цепочкой вывода и в расширении $T$.

-- 06.04.2025, 15:27 --

mihaild в сообщении #1681305 писал(а):

Тот же ВЦИОМ говорит, что 3% опрошенных говорят, что Земля плоская https://wciom.ru/analytical-reviews/ana ... -i-doverie .

Ещё бы понять, сколько из опрошенных не поняли этот вопрос.

А на вопрос, знают ли учёные истину, я бы тоже ответил "нет".

[mihaild]

realeugene в сообщении #1681306 писал(а):

Вот именно из таких соображений я и пришёл интуитивно к выводу, что если у нас есть цепочка вывода в $T$, то она должна остаться цепочкой вывода и в расширении $T$.

Да, остается. Но утверждение о том, что такой цепочкой выводов в $T$ нельзя прийти к противоречию, вообще говоря, слабее утверждения, что к нему нельзя прийти цепочкой выводов из расширения $T$.