связь непрерывности функции и дифференцируемости

[Nxx]

Цитата:

непрерывная ф-ция всегда является дифференцируемой

Нет.

[bot]

RedCheat в сообщении #168085 писал(а):

Насчет переменных ничего не сказано, надо просто ответить на вопросы:

Чтобы отвечать на вопросы надо бы определиться. А то вот ewert уже ответил, а что он ответил, Вам понятно?
О числе переменных задам вопрос иначе, где Вы встретили данный вопрос? Это конечно не принципиально, но для случая 1-й переменной всё же проще, особенно если углубляться далее вплоть до определения предела на языке эпсилон-дельта. Я бы сейчас на этом не настаивал - достаточно хотя бы на каком то уровне знать определения и кое-какие свойства. Дайте зацепку, чтобы мы могли от неё оттолкнуться.

[RedCheat]

ewertспасибо огромное.

[TOTAL]

RedCheat писал(а):

ewertспасибо огромное.

Я бы был поосторожнее. Мне почему-то кажется, что дифференцируемая функция не непрерывна. Объясните мне, если я не прав.

[ewert]

TOTAL в сообщении #168097 писал(а):

Я бы был поосторожнее. Мне почему-то кажется, что дифференцируемая функция не непрерывна

Такой нюанс если и возможен, то только в многомерном случае. Но и там: под дифференцируемостью обычно понимают дифференцируемость в смысле Фреше (даже если самой фамилии и не произносят), а тогда есть и непрерывность. Называть дифференцируемостью просто существование частных производных -- крайне нехорошо, ввиду геометрической неинвариантности такого понятия.

[RedCheat]

Я поняла главное. Если функция дифференцируема, то она непрерывна. Обратное же не всегда так.
С вопросами сталкнулась случайно. Мамочка-домохозяйка (т.е. я) решила заняться самообразованием. Наткнулась на эти вопросы, стало интересно. Почитала, полазила по инету, но в итоге не смогла ответить. Влезла по уши и увязла. Но потратила столько времени, что обидно остаться без ответов.
Ребята, вы молодцы, снимаю шляпу перед вами. Спасибо.

[TOTAL]

ewert писал(а):

TOTAL в сообщении #168097 писал(а):

Я бы был поосторожнее. Мне почему-то кажется, что дифференцируемая функция не непрерывна

Такой нюанс если и возможен, то только в многомерном случае. Но и там: под дифференцируемостью обычно понимают дифференцируемость в смысле Фреше.

Вот-вот, RedCheat, про Фреше мне тоже объясните, пожалуйста, а то сами всё поняли и убежали ...

[RedCheat]

УважаемыйTOTAL.
Про Фреше не я вам сказала.

[Nxx]

RedCheat, а вы в школе вообще учились?

[RedCheat]

Училась, но это было так давно.... и не помню, чтобы в школе проходили данную тему.

[mkot]

Удалено, исходя из нижеследующего замечания AD.

[AD]

mkot, ну ясно же, что TOTAL задал этот вопрос из педагогических соображений.

И давайте я еще раз попробую объяснить, в чем не прав(а) RedCheat, когда говорит

RedCheat в сообщении #168100 писал(а):

Почитала, полазила по инету, но в итоге не смогла ответить. Влезла по уши и увязла. Но потратила столько времени, что обидно остаться без ответов.
Ребята, вы молодцы, снимаю шляпу перед вами. Спасибо.

Объясняю. RedCheat думает, что получил(а) ответ. А все остальные заявляют, что никакого ответа он(а) не получила. И вот почему. Вот подойдет он(а) к кому-нибудь на улице - и скажет:
- а знаете, вот, оказывается, дифференцируемая функция непрерывна.
А через мгновение выясняется, что этот кто-то был TOTAL. И он в ответ спросит:
- Правда? Мне почему-то кажется, что дифференцируемая функция не непрерывна.
И что? RedCheat ведь наверняка совершенно не сможет продолжить беседу. Не сможет убедить TOTALа, что права. Какие аргументы? ewert сказал? Ну-ну, скажет TOTAL, знаю я этого ewertа

То есть "математическое знание" без доказательства совершенно бесполезно. Убедить никого не удастся, а значит, не удастся воспользоваться.

К сожалению, вопросы типа "следует ли из одной степени гладкости другая" нетривиальны. Они не для "школьного ума", в котором все имеющиеся функции принадлежат всем, каким надо, классам гладкости. Такой вопрос не может прийти в голову школьнику, инжинеру и прочим людям, не погружающимся в тонкости математического анализа. Это вопрос настоящего математика, так сказать И поэтому он должен решаться на соответствующем уровне - нужно набраться мужества, взять нормальный учебник (не для гуманитариев, так сказать), въехать в язык $\varepsilon$-$\delta$ - и тогда это будет настоящий ответ.

Добавлено спустя 29 минут 48 секунд:

RedCheat, рекомендую вам разобрать вот такую задачку. Она, фактически, эквивалентна вашему вопросу, но, возможно, в таком виде покажется более понятной.

1. Пусть дано, что

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}x=1$$

. Следует ли из этого, что

$$\lim_{x\to0}f(x)=0$$

?
2. Пусть дано, что

$$\lim_{x\to0}f(x)=0$$

. Означает ли это, что существует предел

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}x$$

?

Попробуйте для начала поподставлять какие-нибудь конкретные функции $f$ (скажем, $f(x)=x^a$ с различными $a$), и сформулировать правдоподобную гипотезу.