Точечный заряд вблизи сферы.

[Эйлер]

Здравствуйте! Вынужден открыть на этом сайте новую тему, при всем моем уважении к форуму, на котором не нашел исчерпывающего ответа. Суть проблемы в решении следующей задачи.
Вне изолированной металлической незаряженной сферы на расстоянии $15$ см от её центра находится точечный заряд $20$ нКл. Каков потенциал сферы, если её радиус $5$ см?

[osa]

Металлическая сфера - эквипотенциальна, т.е. потенциал будет одинаковым в любой точке сферы. Наиболее удобная точка для расчета - центр сферы: применяем принцип суперпозиции, т.е. считаем потенциал как потенциал точечного заряда + потенциал, который создает заряд, индуцированный на поверхности сферы. Последний, как нетрудно увидеть, окажется равным нулю (все элементы сферы равноудалены от центра, а сфера в целом нейтральна, т.е. суммарный индуцированный заряд = 0) Таким образом остается только потенциал точечного заряда.

[Эйлер]

Формула потенциала на поверхности сферы, созданного точечным зарядом:
$\phi=kq/r$
Для чего в задаче дан радиус сферы $R$?

[osa]

Ну дан и дан, не мешает ведь...В задачах часто бывают избыточные данные, ничего в этом странного нет

[Эйлер]

Думаю, такая задача не может быть в одно действие.

[osa]

Вы как-то не о том думаете по-моему, а если писать решение подробно с объяснением, то это и будет не одна строчка. Для решения этой задачи нужны хорошие знания теории, позволяющие найти простой способ расчета. А объем вычислений к сложности не всегда имеет прямое отношение.

[Эйлер]

Тогда согласно методу зеркальных изображений потенциал сферы вблизи точечного заряда складывается из потенциала, находящегося в центре сферы, потенциала, находящегося на расстоянии $R^2/r$ от центра сферы внутри ее и потенциала, созданного точечным зарядом. Заряды - изображение внутри сферы компенсируют друг друга на поверхности, их суммарный потенциал - нулевой и остается потенциал точечного заряда. Так?

[osa]

Нет, метод изображений в рассуждениях вообще не применялся, для ответа на поставленный вопрос он не нужен. Если бы Вы силу взаимодействия искали, тогда, конечно, надо было бы искать положения зарядов-изображений.

[Эйлер]

А в задаче заряженного кольца вблизи металлической пластины, потенциал складывается из потенциала заряда-изображения и потенциала заряда кольца.

[peregoudov]

Эйлер в сообщении #168070 писал(а):

Тогда согласно методу зеркальных изображений

Вы правы, задача может быть решена методом зеркальных изображений для сферы. Вы также правы в том, что поле в этой задаче есть поле трех точечных зарядов: исходного заряда, заряда-изображения и дополнительного заряда в центре сферы. А вот дальше Вы немного путаетесь.

Положение и величина заряда-изображения подбираются так, чтобы суммарный потенциал исходного заряда и заряда изображения был равен нулю всюду на сфере. Как Вам, несомненно, известно, для этого заряд-изображение должен лежать на луче, выходящем из центра сферы и проходящем через исходный заряд, на расстоянии $R^2\!/r$ (R --- радиус сферы, r --- расстояние, на котором находится исходный заряд) от центра сферы, а по величине быть равным -qR/r.

Назначение дополнительного заряда --- обеспечить равенство заряда сферы нулю. Для этого он должен быть равен по модулю и противоположен по знаку заряду-изображению, то есть иметь величину qR/r.

Поскольку суммарный потенциал полей исходного заряда и заряда-изображения на сфере равен нулю, потенциал сферы равен потенциалу поля дополнительного заряда, то есть q/r.

Но то решение, что предлагает Вам osa, гораздо проще.

[Эйлер]

Мне все стало понятно.

[Александр Т.]

Эйлер писал(а):

Здравствуйте! Вынужден открыть на этом сайте новую тему, при всем моем уважении к форуму, на котором не нашел исчерпывающего ответа. Суть проблемы в решении следующей задачи.
Вне изолированной металлической незаряженной сферы на расстоянии $15$ см от её центра находится точечный заряд $20$ нКл.

Эта задача разобрана в параграфе 3 книги "Ландау, Лифшиц, Электродинамика сплошных сред" (стр. 24-25 издания 1982г.)

Цитата:

Каков потенциал сферы, если её радиус $5$ см?

Ответ на это дается формулой (3,6) для потенциала поля в любой точке вне сферы и на сфере.

osa в сообщении #167955 писал(а):

Металлическая сфера - эквипотенциальна, т.е. потенциал будет одинаковым в любой точке сферы. Наиболее удобная точка для расчета - центр сферы: применяем принцип суперпозиции, т.е. считаем потенциал как потенциал точечного заряда + потенциал, который создает заряд, индуцированный на поверхности сферы. Последний, как нетрудно увидеть, окажется равным нулю

Если последний --- это потенциал, то он нулю не равен.

Цитата:

(все элементы сферы равноудалены от центра, а сфера в целом нейтральна, т.е. суммарный индуцированный заряд = 0)

Суммарный индуцированный заряд действительно равен нулю, но отсюда вовсе не следует, что его потенциал равен нулю. Индуцированный заряд распределяется по поверхности сферы так, чтобы сумма его поля и поля точечного заряда внутри сферы была равна нулю, а уж вне сферы --- как получится. В данном случае получается так, что вне сферы поле индуцированного заряда совпадает с суммой полей от двух фиктивных зарядов --- заряда изображения и заряда, расположенного в центре сферы и равного заряду изображения по величине, но противопложного по знаку (см. вышеупопянутый разбор задачи в ЛЛ8).

Цитата:

Таким образом остается только потенциал точечного заряда.

Не только.

peregoudov в сообщении #168122 писал(а):

Но то решение, что предлагает Вам osa, гораздо проще.

Но, к сожалению, и гораздо неправильнее.

[Sergiy_psm]

Эйлер в сообщении #167924 писал(а):

Вне изолированной металлической незаряженной сферы на расстоянии см от её центра находится точечный заряд нКл. Каков потенциал сферы, если её радиус см?

В ФЛФ т.5 параграф 9 "Точечный заряд у проводящей сферы"
этот пример разобран, фактически в сообщении у peregoudova это и написано.

Александр Т. в сообщении #168297 писал(а):

Ответ на это дается формулой (3,6) для потенциала поля в любой точке вне сферы и на сфере.

Да, это согласно принципу суперпозиции.

Александр Т. в сообщении #168297 писал(а):

Если последний --- это потенциал, то он нулю не равен.

Александр Т. в сообщении #168297 писал(а):

peregoudov в сообщении #168122 писал(а):Но то решение, что предлагает Вам osa, гораздо проще.

Но, к сожалению, и гораздо неправильнее.

Вынужден согласится с тем, что потенциал наведенных зарядов внутри сферы не равен нулю. Из того же принципа суперпозиции можно показать что он равен

$$\varphi_{in} = -\frac{q}{r-R}+\frac{q}{r} = const$$

[osa]

Александр Т., извините, но если Вы чего-то не поняли в решении, не стоит утверждать, что оно неправильное.

[Александр Т.]

Sergiy_psm писал(а):

метод изображений дает тот же результат что и osa

Да, прокололся. Лень было посчитать. Или прочитать все, что peregoudov написал, а не только последнее предложение.

Потенциал поля в той точке пересечения поверхности сферы с линией, проходящей через центр сферы и точечный заряд, которая находится между ними, равен

$$ \varphi_1 = \dfrac{q}{l-R} + \dfrac{q}{l} - \dfrac{qR}{lR-R^2} = \dfrac{q}{l-R} + \dfrac{q}{l} - \dfrac{q}{l-R} = \dfrac{q}{l} , $$

где $q$ --- заряд, $l$ --- расстояние от точечного заряда до центра сферы, $R$ --- радиус сферы. А это и есть потенциал сферы.

А, стало быть, потенциал поля индуцированных зарядов оказался равным нулю в центре сферы, потому что, как

osa в сообщении #167955 писал(а):

все элементы сферы равноудалены от центра, а сфера в целом нейтральна

так? (Это я более сведующим участникам этой темы вопрос задаю.)