Справедливость соотношений (Зорич Гл.1)

[Xo4y3HaTb]

Возникли трудности при решении пунктов $d$) и $e$) следующей задачи. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и широко используемые в математических рассуждениях соотношения:
$a$) $\neg(A\wedge B) \Longleftrightarrow \neg A \vee \neg B$; (Решение) Пусть $A$- мн-во вертикальных углов, $B$ - мн-во пар равных углов, $\alpha$- множество пар всех углов. Тогда данная запись слева и справа означает просто $\neg A$ т.е. не вертикальные углы равносильны не вертикальным углам.
$c$) $(A\Rightarrow B) \Longleftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$ Здесь тоже пример подходит. Т.е. из того, что вертикальные углы равны, следует то, что, если углы не равны, то они не вертикальные).
Пример подходит под каждое соотношение $a-c$) сохраняя словесный смысл и, если заменить и, или, не, на пересечение, объединение, дополнение соответственно, то соотношения остаются верными.
В примерах d) и e) я теряю оба смысла.
$d$) $(A\Rightarrow B) \Longleftrightarrow \neg A \vee B$; Как языком озвучить правую часть на моём примере? "Не вертикальные углы или равные углы"? Получается какая-то бессмыслица. Если рассматривать как мн-во, то левая часть это по сути одно мн-во содержащееся в другом, а правая часть это моё мн-во $\alpha$, но в чём состоит равносильность?
$e$) $\neg (A \Rightarrow B) \Longleftrightarrow A \wedge \neg B$. Левая запись означает, что найдётся хотя бы одна пара вертикальных углов, которые не равны. Как озвучить правую запись я не пойму. В моём случае это пустое мн-во.
Подскажите, пожалуйста, как показать справедливость этих двух суждений?

[Утундрий]

Цитата:

Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и широко используемые в математических рассуждениях соотношения:

Здесь автор учебника имеет в виду настоящее доказательство, а не сочинение сказочек про белого бычка.

[eugensk]

Вернитесь на упражнение 1, есть там про вертикальные углы и про "озвучить"?

[Dedekind]

Xo4y3HaTb в сообщении #1680446 писал(а):

$(A\Rightarrow B) \Longleftrightarrow \neg A \vee B$; Как языком озвучить правую часть на моём примере?

Если из вертикальности углов следует их равенство, то либо углы равны, либо не вертикальны. И в обратную сторону. Но, разумеется, все это не является никаким доказательством. Надеюсь, Вы это понимаете.

[skobar]

Xo4y3HaTb в сообщении #1680446 писал(а):

$\neg(A\wedge B) \Longleftrightarrow \neg A \vee \neg B$; (Решение) Пусть $A$- мн-во вертикальных углов, $B$ - мн-во пар равных углов,

В равенствах такого рода $A$ и $B$ должные быть высказываниями, то есть $A$ и $B$ должны быть такими, чтобы про них можно было сказать, истинны они или ложны. Если вы пишите, что $A$ - это множество, то про множество не имеет смысла говорить истинно оно или ложно, и высказыванием $A$ являться не будет. Поэтому приведенный текст вообще математического смысла не имеет.

[мат-ламер]

Расскажу о своём опыте. У нас параллельно с курсом анализа читался и курс математической логики. Нам рассказывали про таблицы истинности. И подобные утверждения я доказывал именно с помощью таких таблиц, не занимаясь их озвучиванием. В саму глубину математической логики смысла лезть нет. Достаточно знакомства с её основами. Можно, например, взять книгу Калужнина "Что такое математическая логика". Но наверное есть и книги получше на эту тему, я не в курсе.

[Dedekind]

мат-ламер
Далеко ходить не нужно, таблицы есть в самом же Зориче на предыдущей странице. И упражнение предполагается делать именно с их помощью.

[Евгений Машеров]

То, чем Вы занимаетесь, не есть "доказать соотношение", а "проиллюстрировать соотношение". Доказывать надо, как уже посоветовали, через таблицы истинности. А проиллюстрировать, для лёгкости запоминания, можно примерами (но не обязательно).
d. Если по законам страны всякий мужчина (A) военнообязанный (B), то соотношение
$(A\Rightarrow B) \Longleftrightarrow \neg A \vee B$
трактуется, как "утверждение, что всякий мужчина военнообязанный, означает, что произвольно выбранный субъект либо не мужчина, либо военнообязанный"
e. A - женщина, B - мать.
$\neg (A \Rightarrow B) \Longleftrightarrow A \wedge \neg B$
"Если утверждение, что всякая женщина - мать, неверно, то существует некто, женщина, но не мать"

[Xo4y3HaTb]

Всем большое спасибо за ответы и примеры! Вроде разобрался и получилось доказать по таблице истинности.
В каждом пункте нужно равносильность разбить на 2 следования, затем (в зависимости от $A$ и $B$ есть 4 варианта) проверить на истинность и ложность правые и левые части этих следований. Ну и проверить сами следования по таблице. Они всегда оказываются истинными.